Тема №3 Решение нелинейных уравнений.
Задача нахождения корней нелинейного уравнения возникает достаточно часто.
Нелинейные уравнения делятся на
алгебраические и трансцендентные. Для
алгебраического уравнения
- это полином некоторой степени больше
единицы.
Хотя алгебраические и трансцендентные уравнения часто решают одними и теми же методами, но существуют численные методы, использующие свойства алгебраических уравнений. Методы решения делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют найти решения уравнений непосредственно с помощью формул.
Пример: Решение квадратного уравнения по формулам Виета. В итерационных методах задаётся процедура решения в виде многократного применения некоторой процедуры. В этом случае нахождение корня уравнения состоит из двух этапов.
1 этап: отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка.
2 этап: уточнение приближенного значения корня до некоторой заданной точности. Приближенное значение корня (начальное приближение) может быть найдено различными способами:
1) из физических соображений
2) из решения аналогичной задачи при других исходных данных;
3) графическим методом.
Если удалось найти две точки, образующих
отрезок,
на концах которого
имеет различный знак, то в качестве
начального приближения можно взять
середину
Если знак разный, то это гарантирует, что между ними будет хоть один корень.
Итерационный процесс
состоит в последовательном
уточнении начального приближения.
Каждый такой шаг называется итерацией.
В результате получается последовательность
приближенных значений корня. Если эта
последовательность с ростом
(числа итераций) приближается к истинному
значению корня, то итерационный процесс
сходится. К сожалению, часто бывает, что
итерационный процесс не сходится.
Поэтому надо следить за условиями
сходимости и предусмотреть возможность
расхождения итерационного процесса.
Метод 10
Метод половинного деления.
Метод половинного деления является одним из простейших методов решения нелинейных уравнений, и один из самых распространённых.
Допустим, нам удалось найти отрезок,
на концах которого функция
имеет разный знак. В этом случае можно
быть уверенным, что на отрезке
содержится, по крайней мере, один корень
уравнения
и
(если
- непрерывная)
Число корней n+1, n – четное.
В качестве начального приближения берем
точку,
находящуюся на середине отрезка
и получаем два отрезка
и
затем проверяем на концах, какого из
этих двух отрезков функция
имеет разный знак. Если знак у
разный на отрезке
,
то полагаем
и получаем новый отрезок
,
содержащий
.
Если на отрезке
,
то
Полученный сокращенный отрезок
делим пополам и получаем
.
If
, then
else
,
При этом надо учитывать, что итерационный
процесс может быть расходящимся. Но
метод половинного деления
обладает значительным преимуществом
– он всегда сходится.
На итерационном шаге с номером
будет достигнута точность
Недостатком этого метода является достаточно медленная сходимость.
Метод 11