- •Новочеркасск 2008 Содержание
- •Тема №1 Модели и моделирование.
- •Погрешности численных методов.
- •Тема №2 Аппроксимация функций.
- •Интерполяционная формула Лагранжа.
- •Сплайны
- •Сплайны третьей степени
- •Метод наименьших квадратов
- •Тема №3 Решение нелинейных уравнений.
- •Метод половинного деления.
- •Метод простых итераций.
- •Метод Хорд
- •Метод Ньютона (касательных).
- •Тема №4 Решение систем линейных уравнений.
- •1) Прямые
- •2) Итерационные
- •Метод Гаусса.
- •Метод прогонки.
- •Уточнение решения (итерационный метод).
- •Метод Гаусса-Зейделя.
- •Тема №5 Решение систем не линейных уравнений.
- •Простой Итерации
- •Метод Ньютона для систем уравнений.
- •Метод возмущения параметров.
- •Тема №6 Численное интегрирование.
- •Метод прямоугольников.
- •Метод трапеции
- •Метод Симпсона.
- •Метод Гаусса.
- •Метод Монте-Карло.
- •Метод Монте-Карло для вычисления кратных интегралов.
- •Тема №7 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (оду).
- •Метод Эйлера.
- •Модифицированный метод Эйлера.
- •Метод Рунге – Кутта.
- •Метод Рунге-Кутта для решения систем оду
- •Метод Рунге-Кутта для оду высших порядков.
- •Метод стрельбы.
- •Метод конечных разностей (мкр) (метод сеток).
- •Тема №8 Решение дифференциальных уравнений с частными производными.
- •Уравнение теплопроводности.
- •Явная разностная схема для уравнения теплопроводности.
- •Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности.
- •Тема №9 Задачи оптимизации.
- •Метод половинного деления.
- •Метод золотого сечения.
- •Метод покоординатного подъёма (спуска).
- •Метод градиентного подъёма (спуска).
- •Метод наискорейшего подъёма.
- •Тема №10 Задания для самостоятельной проработки. Транспортная задача.
- •Задача о ресурсах.
- •Волновое уравнение.
- •Уравнение Лапласа.
Метод Эйлера.
Простейшим методом решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка является метод Эйлера.
Требуется найти . Как зависит от .
Будем находить решение в точках отстоящих друг от друга на расстоянии h (шаг задачи). Допустим решение в точке известно, и требуется найти значение неизвестной в точке . Разложим решение в окрестности точки в ряд Тейлора:
В этом ряде ограничимся первыми двумя слагаемыми
В результате получаем простейшую формулу
, которая реализует метод Эйлера .
, ,
точность
погрешность на одном шаге.
Таким образом, погрешность метода Эйлера равна .
Метод 29
Модифицированный метод Эйлера.
Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. В модифицированном методе Эйлера сначала вычисляется значение,
которое используется для вычисления приближенного значения производной в конце интервала . Значение производной полагают равным .
Мы нашли, что в начале интервала значение производной равно
, а в конце
Для нахождения на интервале удобно использовать среднее значение.
Такое представление производной тождественно использованию в ряде Тейлора членов пропорциональных .
Метод 30
Метод Рунге – Кутта.
Это метод, который позволяет учесть в ряде Тейлора члены, содержащие старшие производные.
Для этого при вычислении старших производных используется результаты расчетов в точках внутри интервала. Метод Рунге – Кутта объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Отличаются эти методы порядком точности, т.е. числом слагаемых в ряде Тейлора.
Наиболее распространенным является метод, при котором удерживаются члены пропорциональные (метод 4-го порядка точности) когда говорят метод Рунге-Кутта, то имеют в виду метод четвёртого порядка.
Расчеты в этом методе производятся по следующим формулам
Метод 31
Метод Рунге-Кутта для решения систем оду
Метод Рунге – Кутта может применяться для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. Например: при решении системы
найдем
В этом случае расчеты производятся по следующим формулам:
Метод 32
Метод Рунге-Кутта для оду высших порядков.
Метод Рунге – Кутта можно использовать для решения дифференциальных уравнений высокого порядка (второго или более высокого). Для этого дифференциальное уравнение сводится к системе уравнений первого порядка.
Например: дифференциальное уравнение второго порядка:
Введём переменную , в результате решаемая задача приводится к следующей задаче:
получили систему двух уравнений первого порядка.
Метод 33
Метод стрельбы.
Методы решения задачи Коши могут быть использованы при решении краевых задач. В качестве примера рассмотрим один из методов решения краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка, который называется методом стрельбы.
Решается дифференциальное уравнение второго порядка:
Заменим эту краевую задачу задачей Коши
Задача сводится к тому, чтобы найти такой угол , чтобы в точке решение равнялось .
Эта задача зависит от угла , как от параметра:
И нужно чтобы
Решение этого уравнения есть . Найдя, мы тем самым решим задачу как методом Коши.
Метод 34