- •Новочеркасск 2008 Содержание
- •Тема №1 Модели и моделирование.
- •Погрешности численных методов.
- •Тема №2 Аппроксимация функций.
- •Интерполяционная формула Лагранжа.
- •Сплайны
- •Сплайны третьей степени
- •Метод наименьших квадратов
- •Тема №3 Решение нелинейных уравнений.
- •Метод половинного деления.
- •Метод простых итераций.
- •Метод Хорд
- •Метод Ньютона (касательных).
- •Тема №4 Решение систем линейных уравнений.
- •1) Прямые
- •2) Итерационные
- •Метод Гаусса.
- •Метод прогонки.
- •Уточнение решения (итерационный метод).
- •Метод Гаусса-Зейделя.
- •Тема №5 Решение систем не линейных уравнений.
- •Простой Итерации
- •Метод Ньютона для систем уравнений.
- •Метод возмущения параметров.
- •Тема №6 Численное интегрирование.
- •Метод прямоугольников.
- •Метод трапеции
- •Метод Симпсона.
- •Метод Гаусса.
- •Метод Монте-Карло.
- •Метод Монте-Карло для вычисления кратных интегралов.
- •Тема №7 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (оду).
- •Метод Эйлера.
- •Модифицированный метод Эйлера.
- •Метод Рунге – Кутта.
- •Метод Рунге-Кутта для решения систем оду
- •Метод Рунге-Кутта для оду высших порядков.
- •Метод стрельбы.
- •Метод конечных разностей (мкр) (метод сеток).
- •Тема №8 Решение дифференциальных уравнений с частными производными.
- •Уравнение теплопроводности.
- •Явная разностная схема для уравнения теплопроводности.
- •Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности.
- •Тема №9 Задачи оптимизации.
- •Метод половинного деления.
- •Метод золотого сечения.
- •Метод покоординатного подъёма (спуска).
- •Метод градиентного подъёма (спуска).
- •Метод наискорейшего подъёма.
- •Тема №10 Задания для самостоятельной проработки. Транспортная задача.
- •Задача о ресурсах.
- •Волновое уравнение.
- •Уравнение Лапласа.
Метод Ньютона для систем уравнений.
Обладает гораздо более быстрой сходимостью и большей областью сходимости.
В основе метода Ньютона лежит представление всех уравнений системы в виде ряда Тейлора с отброшенными членами содержащие 2-ые и более высоких порядков производные.
…………………..
Представим решение на k+1 итерационном шаге в виде
Нашей целью является нахождение небольших поправок к решению.
Для этого подставим эти решения в уравнения системы и разложим в ряд Тейлора
В результате получиться система уравнений вида:
……………………………………..
В этой системе все правые части вычисляются при уже найденных ,,…,.
В результате мы получили систему линейных уравнений (СЛУ) относительно неизвестных величин. После того как решение системы найдено (решаем методом Гаусса), получаем решение на
Метод 20
Метод возмущения параметров.
Нам дана система
…………………..
Наряду с системой, решение которой необходимо найти, мы решаем систему из такого же числа уравнений решение которой известно.
……………………
Деформируя (возмущая) уравнение системы с известным решением, с помощью конечного числа N (малых приращений), преобразуем их к системе, решение которой надо найти.
Деформацию можно проводить различными способами.
Например, на шаге деформации с номером k деформацию можно записать в виде
, где i – это номер уровня.
Если число шагов деформации N достаточно велико, то деформация системы на каждом шаге будет не значительна.
Решение системы (G) можно использовать как начальное приближение неизвестных для итерационного решения полученного при первой деформации системы. Так как эта система при достаточно больших значениях N мало отличается от предыдущей то, вероятно, что сходимость для деформируемой системы будет обеспечена.
После этого производится вторая деформация. И используя решения, полученные для первой деформации в качестве начального приближения, найдём корень системы после второй деформации. В конце счета, когда номер деформации k= N решаемая система становится эквивалентной исходной (F).
Применение может привести к значительному увеличению объёма вычислений. Однако при этом возрастают шансы на то, что метод сойдётся.
Тема №6 Численное интегрирование.
Определённый интеграл
где,
Часто возникает задача численного интегрирования, например в таких случаях когда:
-
аналитически, через элементарные функции интеграл не берётся;
-
численное интегрирование необходимо использовать, если подинтегральная функция задана в табличном виде.
При численном интегрировании используется определение интеграла и его геометрического смысла. Приближенное значение интеграла мы получим, если в интегральной сумме ограничимся конечным числом слагаемых.
Метод 21
Метод прямоугольников.
Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. В этом методе интеграл вычисляется с помощью усеченной интегральной суммы, а в качестве точки
берётся середина отрезка . При вычислении можно использовать правую или левую сторону этого отрезка
Метод 22