U
E
a |
b |
x |
|
||
|
Рис. 49.2 |
|
|
|
При прохождении потенциального барьера частица как бы проходит сквозь "туннель" в этом барьере, и рассмотренное явление называют туннельным эффектом.
§50. Квантование энергии
Уравнение Шредингера позволяет найти волновую функцию данного состояния и определить вероятность нахождения частицы в различных точках данного пространства.
В уравнение Шредингера входит полная энергия частицы E |
|
ΔΨ+ 2m2 (E −V )Ψ = 0 . |
(50.1) |
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (50.1) имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых значениях E, а лишь при некоторых избранных значениях. Эти избранные значения называются собственными значениями энергии. Решения, соответствующие собственным значениям E, называются собственными функциями задачи. Совокупность собственных значений называется спектром величины.
Если эта совокупность образует дискретную последовательность, спектр называется дискретным.
Если собственные значения образуют непрерывную последовательность, спектр называют сплошным или непрерывным.
Мы будем рассматривать задачи, у которых спектр собственных значений является дискретным.
Для дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать:
E1, E2,...,En ψ1, ψ2,...,ψn.
Квантование энергии получается из основных положений квантовой механики. Нахождение собственных значений и собственных функций весьма трудная математическая задача.
Движение частицы в одномерной "потенциальной яме" с бесконечно высокими стенками
Пусть микрочастица движется в одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками вдоль оси x.
(m, l, U).
Частица может двигаться только вдоль оси x.
Значения потенциальных энергий для такой ямы имеет вид:
28
U = ∞, x < 0 |
|
U (x) = U = 0,0 ≤ x ≤ l , |
(50.2) |
U = ∞, x > l |
|
(50.2) граничные условия.
l - ширина ямы, а энергия отсчитывается от ее дна.
U → ∞ U = 0 U → ∞
x
x = 0 x = l
Рис. 50.1
Запишем уравнение Шредингера для стационарных состояний (одномерный случай):
∂∂2xΨ2 + 2m2 (E −U )Ψ = 0 .
Частица за пределы ямы не проникает (U = 0).
Из граничных условий (50.2): ψ(0) = 0;ψ(l) = 0.
Для движения частицы внутри ямы имеем:
∂2Ψ +k 2Ψ = 0 , ∂x2
где
k 2 = 2m2 E .
Общее решение уравнения (50.4) имеет вид:
ψ(x) = Asin(kx+α)
из граничных условий вытекает:
ψ(0) = Asinα = 0; α = 0;
ψ(l) = 0, 0 = Asin(kl) k = nlπ .
(50.3)
(50.4)
(50.5)
(50.6)
(50.7)
Из (50.4) и (50.7) следует, что статическое уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в "потенциальной яме" удовлетворяется только при собственных значениях энергии En, зависящих от целого числа n
E = |
n2π 2 2 |
, |
(50.8) |
|
2ml2 |
||||
|
|
|
Т.е. энергия принимает определенные значения, т.е. квантуется.
n = 1, 2, 3, ...
Emin = |
π2 2 |
, |
(50.9) |
2ml2 |
минимальная энергия частицы.
29
Квантованные значения энергии E - называют уровнями энергии, а число n - главным квантовым числом.
Микрочастица в "потенциальной яме" с бесконечно высокими стенками может находиться только в определенном квантовом состоянии n
Ψn (x) = Asin nlπ x ,
собственные значения волновой функции, а n = 1, 2, 3, ... - собственные функции. Согласно условию нормировки
∫l |
A2 sin2 |
nπ |
xdx =1 A2 |
∫l |
sin2 |
nπ |
xdx =1 |
|||
0 |
|
|
|
l |
|
|
0 |
|
l |
, |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψ (x) = 2 sin nπ x . |
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Оценим расстояние между соседними энергетическими уровнями:
|
π2 2 |
π 2 2 |
En = En+1 − En = |
2ml2 (2n +1) ≈ |
2ml2 n . |
(50.10)
(50.11)
(50.12)
(50.13)
Для электронов в металле при l = 10-1м, En ≈ 10-35 кДж, энергетические уровни очень близко расположены друг к другу, можно считать спектр практически непрерывным.
Если же l = 10-10м, то En ≈ 10-17 кДж ≈ 10-2 кэВ - спектр линейный. Рассмотрим зависимость от m:
1. |
m ≈ 10-26, а l ≈ 0,1, то |
En ≈ 10-35 кДж ≈ 10-20 кэВ |
2. |
m ≈ 10-31, а l ≈ 10-10, то |
En ≈ 10-16 кДж ≈ 102 кэВ |
1)Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать значения: n = 1, 2, 3, ...
2)Из уравнения Шредингера следует: момент импульса электрона квантуется:
Le = l(l +1) , |
(50.14) |
где l - орбитальное квантовое число, принимающее при заданном n значения: l = 0,1,2,..., (n-1), т.е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.
3) Вектор момента импульса Le может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при
которых его проекция на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные ħ:
Le = ml ml = 0, ±1,± .l , |
(50.15) |
Магнитное квантовое число ml определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве ( 2l+1) ориентаций.
Вопросы для повторения
1.Что определяет квадрат модуля волновой функции?
2.Почему квантовая физика является статистической теорией?
3.В чем отличие понимания принципа причинности в классической и квантовой механике?
4.Какова наименьшая энергия частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»?
30