4 Моделирование сп.
Ниже для каждой из трёх лучших моделей (АР, СС, АРСС) приведены системы уравнений для расчёта параметров модели и записаны системы уравнений для расчёта теоретической НКФ.
AR(2): 
MA(0):
ARMA(2,3): 
Для
генерации стандартного нормального
шума была использована Центральная
предельная теорема. Т.е.
,
где
Однако, математическое ожидание полученного процесса будет близко к нулю. Чтобы оценка математического ожидания была близка к исходному значению, прибавим выборочное среднее исходного процесса к каждому элементу сгенерированной последовательности.
Для каждой из трёх лучших моделей графически сравним НКФ: (1) выборочную исходного СП, (2) теоретическую, (3) выборочную смоделированного СП.
Графики НКФ приведены на рисунках 3,4,5.
Рисунок 3 – НКФ модели AR(2).
Рисунок 4 – НКФ модели MA(0).
Рисунок 5 – НКФ модели ARMA(2,3).
Анализ лучших моделей.
Смоделировав случайные процессы для моделей AR(2), MA(0) и ARMA(2,3) и рассчитав их выборочные МФ, сравним все модели с выборочными МФ исходного СП и с теоретическими МФ каждой модели.
Таблица 8 – Сравнительный анализ МФ лучших моделей.
|
Параметры процесса |
Исходный Процесс |
AR(2) |
MA(0) |
ARMA(2,3) | |||||
|
Теория |
Модель |
Теория |
Модель |
Теория |
Модель | ||||
|
Среднее |
49.947 |
49.947 |
61.2140 |
49.947 |
39.8605 |
49.947 |
63.1294 | ||
|
Дисперсия |
420.8077 |
420.8077 |
389.7246 |
420.8077 |
383.4765 |
420.8077 |
691.600 | ||
|
СКО |
20.5136 |
20.5136 |
19.7414 |
20.5136 |
19.5826 |
20.5136 |
26.2983 | ||
|
Нормированная корреляционная функция: | |||||||||
|
|
0.5881 |
0.5881 |
0.5854 |
0 |
0.0026 |
0.5881 |
0.5481 | ||
|
|
-0.1595 |
-0.1595 |
-0.1672 |
0 |
-0.0113 |
-0.1595 |
-0.2700 | ||
|
|
-0.6378 |
-0.6206 |
-0.6327 |
0 |
0.0088 |
-0.6699 |
-0.7207 | ||
|
|
-0.4615 |
-0.5238 |
-0.5411 |
0 |
-0.0196 |
-0.4918 |
-0.4487 | ||
|
|
0.1273 |
-0.0665 |
-0.0800 |
0 |
-0.0151 |
0.1271 |
0.2060 | ||
|
|
0.5032 |
0.3353 |
0.3325 |
0 |
-0.0055 |
0.5543 |
0.5895 | ||
|
|
0.3591 |
0.4010 |
0.4107 |
0 |
0.0053 |
0.4113 |
0.3800 | ||
|
|
-0.1067 |
0.1590 |
0.1744 |
0 |
0.0034 |
-0.1010 |
-0.1513 | ||
|
|
-0.3977 |
-0.1441 |
-0.1377 |
0 |
-0.0025 |
-0.4586 |
-0.4761 | ||
|
|
-0.2765 |
-0.2730 |
-0.2800 |
0 |
0.0077 |
-0.3439 |
-0.3249 | ||
|
Погрешность модели: |
0.2066 |
0.2278 |
1.6354 |
1.6314 |
0.0050 |
0.0045 | |||
Рисунок 6 – выборка смоделированного СП.
Заключение.
В данной работе были смоделированы модели авторегрессии и скользящего среднего для некоторого исходного неизвестного эргодического процесса. В ходе работы были построены и смоделированы все смешанные модели АРСС до третьего порядка включительно, были найдены наилучшие модели АР, СС и АРСС. Для каждой из лучших моделей была смоделирована нормированная корреляционная функция, найдены моментные функции: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонения.
Погрешности моделей АР и СС заметно выше погрешностей моделей АРСС, при условии, что последние существуют и сходятся.
По математическому ожиданию, смоделированная модель СС(0) оказалась ближе к МО исходной выборки, чем МО у АРСС(2,3) и АР(2).
Показатель СКО у смоделированных процессов СС(0) и АР(0) оказались ближе по значению к СКО исходной выборки, чем СКО у АРСС(2,3).