2 Оценка моментных функций

Дана выборка иззначений стационарного в широком смысле эргодического случайного процесса. Оценим его моментные функции.

Выборочное среднее – оценка математического ожидания, рассчитывается по формуле

Где – соответствующие компоненты вектора,

–объем выборки.

Формула для расчета несмещенной выборочной дисперсии имеет вид

где – выборочное среднее.

В соответствие с оценкой дисперсии формула для оценки нормированной корреляционной функции имеет вид:

где – выборочная несмещенная дисперсия,

–выборочное среднее,

–объем выборки.

Радиус корреляции случайного процесса рассчитывается по формуле:

Изобразим графически на рисунке 1 фрагмент исходного случайного процесса:

Рисунок 1 – фрагмент исходного случайного процесса.

Вычисленные моментные функции показаны в таблице 1:

Таблица 1 – Статистика по исходной выборке

Максимальное значение в выборке				126.934
Минимальное значение в выборке				-28.269
Выборочное среднее				49.947
Выборочная дисперсия				420.8077
Радиус корреляции				10
Выборочная нормированная корреляционная функция:
1.0000	0.5881	-0.1595	-0.6378		-0.4615
0.1273	0.5032	0.3591	-0.1067		-0.3977
-0.2765	0.0926	0.3229	0.2212		-0.0746

Рисунок 2 - Оценка нормированной корреляционной функции.

3 Построение моделей Модели ar(m).

Построим модели авторегрессии AR(M) = ARMA(M, 0) порядков M = 1, 2, 3.

Здесь – значение k-ого элемента выходной последовательности модели авторегрессии M-ого порядка, ,– коэффициенты системы уравнений, -входная некоррелированная случайная последовательность с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Коэффициенты для данной модели найдем из системы уравнений Юла–Уокера.

Для модели AR(3):

Для модели AR(2):

Для модели AR(1):

где – значения корреляционной функции в точке .

Найденные коэффициенты моделей AR(M) запишем в таблицу 2.

Таблица 2 – коэффициенты моделей AR(M)

Порядок модели

Коэффициенты модели AR(M)

1	0.5881					16.5908
2	1.0425	- 0.7726				10.5326
3	0.9923	- 0.7050		- 0.0649		12.0546

Здесь же проверим устойчивость полученных моделей AR(М)

модель ARMA (0,N) = MA (N) устойчива всегда,

модель ARMA (1,N) устойчива только, если

модель ARMA (2,N) устойчива только, если

модель ARMA (3,N) устойчива только, если

Проведя расчеты, было выяснено, все модели являются устойчивыми.

Теперь найдем первые 10 теоретических значений НКФ для полученных моделей AR(M).

Таблица - 3 теоретические НКФ.

	AR(1)	AR(2)	AR(3)
	0.5881	0.5881	0.5881	0.5881
	0.3459	-0.1595	-0.1595	-0.1595
	0.2034	-0.6206	-0.6378	-0.6378
	0.1196	-0.5238	-0.5587	-0.4615
	0.0703	-0.0665	-0.0944	0.1273
	0.0414	0.3353	0.3415	0.5032
	0.0243	0.4010	0.4418	0.3591
	0.0143	0.1590	0.2038	-0.1067
	0.0084	-0.1441	-0.1314	-0.3977
	0.0049	-0.2730	-0.3028	-0.2765
Погрешности:	1.8881	0.2066	0.2593

Погрешность модели мы считали по следующей формуле:

Здесь – это выборочная нормированная корреляционная функция, а – подсчитанная теоретическая корреляционная функция.

Таким образом видим, что среди всех моделей AR(M) лучшая модель AR(2).