- •Раздел 1. Основные понятия
- •1.1. Общие сведения о сопротивлении материалов
- •1.2. Изучаемые объекты
- •1.3. Расчетные схемы элементов реальных конструкций
- •1.4. Место курса "Сопротивление материалов" в общем цикле дисциплин о механике деформирования упругих тел и образованных из них структур
- •1.5. Нагрузки и их классификация
- •1.6. Внутренние силы
- •1.7. Метод сечений
- •1.8. Основные виды деформаций бруса
- •1.9. Опоры, связи и их классификация
- •1.10. Статически определимые и статически неопределимые балки
- •1.11. Определение реакций в опорных связях
- •1.12. Эпюры внутренних сил и моментов.
- •1.13. Правила построения эпюр внутренних силовых факторов
- •Раздел 2. Теория напряженного состояния
- •2.1. Напряжения
- •2.2. Связь между напряжениями и внутренними усилиями
- •2.3. Виды напряженного состояния
- •2.4. Плоское напряженное состояние
- •2.5. Главные напряжения. Главные площадки
- •2.6. Экстремальные касательные напряжения. Площадки сдвига
- •3.1. Деформации, перемещения
- •3.2. Зависимости между деформациями и перемещениями. Формулы Коши
- •3.3. Основные гипотезы
- •3.4. Кинематические соотношения при изгибе
- •3.5. Экспериментальное изучение механических характеристик материалов при растяжении-сжатии
- •3.6. Испытания материала на растяжение
- •3.7. Определения основных механических характеристик материалов
- •Раздел 5. Уравнения равновесия балки
- •5.1. Уравнения равновесия балки в усилиях
- •5.2. Некоторые особенности эпюр перерезывающих сил и изгибающихмоментов
- •5.3. Уравнения равновесия балки в перемещениях
- •5.4. Ось стержня
- •5.5. Граничные условия
- •5.6. Растяжение и сжатие
- •5.7. Сдвиг. Чистый сдвиг
- •5.8. Деформация при сдвиге. Закон Гука при сдвиге
- •5.9. Кручение
- •Раздел 6. Геометрические характеристики плоских однородных сечений
- •6.1. Cтатический момент инерции сечения
- •6.2. Осевой момент инерции сечения
- •6.5.2. Треугольное сечение
- •6.5.3. Сечение в форме круга
- •6.6. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей
- •6.7. Изменение моментов инерции при повороте осей
- •6.8. Главные моменты инерции. Главные оси инерции
- •6.9. Вычисление моментов инерции сложных сечений
- •Раздел 7. Прямой изгиб
- •7.1. Прямой чистый изгиб
- •7.2. Прямой поперечный изгиб
- •7.3. Формула д.И. Журавского
- •7.4. Расчеты на прочность при изгибе
- •7.5. Балки постоянного поперечного сечения из пластичных материалов
- •7.6. Балки постоянного поперечного сечения из хрупких материалов
- •7.7. Балки переменного поперечного сечения
- •7.8. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом непосредственного интегрирования уравнений равновесия
- •7.9. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом начальных параметров
- •Раздел 8. Критерии прочности
- •8.1. Основные теории прочности
- •8.1.1. Первая теория прочности, или теория наибольших нормальных напряжений (теория Галилея-Ренкина)
- •8.1.2 Вторая теория прочности, или теория наибольших линейных деформаций (теория Мариотта-Грасгофа, 1862 г.)
- •8.1.3. Третья теория прочности, или теория наибольших касательных напряжений (теория Кулона, 1772 г.)
- •8.1.4. Четвертая (энергетическая) теория прочности, или теория удельной потенциальной энергии формоизменения (Теория Губера-Мизеса-Генки, 1904 г.)
- •8.1.5. Единая теория прочности
- •8.2. Понятия о некоторых новых теориях прочности
- •8.2.1. Критерий прочности Ягна-Бужинского
- •8.2.2. Критерий прочности Писаренко-Лебедева
- •Раздел 9. Сложное сопротивление
- •9.1. Общие положения
- •9.2. Изгиб с кручением брусьев круглого сечения
- •9.3. Эквивалентные напряжения по различным теориям прочности
- •Раздел 10. Расчет конструкций по предельным состояниям
- •10.1. Основные понятия о предельном состоянии
- •10.2. Расчеты при растяжении и сжатии
- •10.3. Расчеты при кручении
- •10.4. Расчеты при изгибе
Раздел 2. Теория напряженного состояния
2.1. Напряжения
Внутренние силы так же, как и внешние нагрузки, распределенные по поверхности, характеризуются интенсивностью (рис. 2.1), которая равна
Рис. 2.1
- интенсивность нормальных сил - нормальные напряжения, вызывающие отрыв (сжатие) частиц (размерность).
- интенсивность касательных сил - касательные напряжения, вызывающие сдвиг (размерность).
Нормальные и касательные напряжения являются составляющими полного напряжения в точке по данному сечению, величина которого вычисляется по формуле.
Величины нормальных и касательных напряжений в каждой точке элемента зависят от направления сечения, проходящего через эту точку.
Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по различным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, представляют собой напряженное состояние в этой точке.
2.2. Связь между напряжениями и внутренними усилиями
Рассмотрим элементарную площадку dF поперечного сеченияF(сечения, нормального к осиx) бруса с действующими по этой площадке нормальнымии касательныминапряжениями (рис. 2.2). Разложим напряженияна составляющиеи, параллельные соответственно осямyиz. На площадкудействуют элементарные силы,,, параллельные соответственно осямx, y иz. Проекции всех элементарных сил (действующих на всех элементарных площадкахdF сеченияF) на осиx, y иzи их моменты относительно этих осей определяются выражениями
;
(2.1)
В левых частях выражений (2.1) указаны внутренние усилия, действующие в поперечном сечении бруса и приведенные к точке пересечения оси xи поперечного сечения. А именно:N- продольная сила;и- поперечные силы, параллельные соответственно осямyиz;- крутящий момент;- изгибающий момент относительно осиy(действующий в плоскостиxz);- изгибающий момент относительно осиz(действующий в плоскостиxy).
2.3. Виды напряженного состояния
Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в этой точке.
Различают следующие виды напряженного состояния:
а) пространственное (трехосное) напряженное состояние (рис. 2.3, а), когда через рассматриваемую точку тела нельзя провести ни одной площадки, в которой касательные и нормальные напряжения были бы равны нулю;
б) плоское (двухосное) напряженное состояние (рис. 2.3, б), когда в одной (и только одной) площадке, проходящей через рассматриваемую точку тела, касательные и нормальные напряжения равны нулю;
в) линейное (одноосное) напряженное состояние (рис. 2.3, в), когда касательные и нормальные напряжения в двух площадках, проходящих через рассматриваемую точку тела, равны нулю.
а)б)в)
Рис. 2.3
2.4. Плоское напряженное состояние
При плоском напряженном состоянии, как отмечалось выше, в одной из площадок, проходящих через рассматриваемую точку, касательные и нормальные напряжения равны нулю.
Выделим из тела в окрестности этой точки бесконечно малую (элементарную) треугольную призму и совместим эту площадку с плоскос-тью чертежа. Индекс у нормальных и касательных напряжений (рис.2.4, а) указывает на направление их действия. Например,- напряжение, действующее на площадке, перпендикулярной осиx, в направлении осиx.
Нормальные напряжения по боковой грани призмы, наклоненной под углом к грани, по которой действуют напряжения, обозначим, а касательные напряжения по этой грани.
а)б)
Рис. 2.4
Умножив каждое из действующих напряжений (рис. 2.4, а) на площадь грани, по которой оно действует, получим систему сосредоточенных сил, приложенных в центрах тяжести соответствующих граней (рис. 2.4,б):
(2.2)
В силу того, что выделенный элемент находится в равновесии, для него справедливы следующие уравнения статики :
(2.3)
;
.
Подставив в последнее уравнение выражения для сил ииз (2.2), получим
,
откуда
(2.4)
Выражение (2.4) представляет собой математическую запись закона парности касательных напряжений, который гласит, что касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам, перпендикулярные к их общему ребру, равны по абсолютной величине и направлены либо оба к ребру, либо оба от ребра (рис. 2.5).
Рис. 2.5
Первые два уравнения из (2.3) с учетом выражений для усилий из (2.2) принимают вид:
;
.
Учитывая, что , сократим данные уравнения на произведение. В результате получим:
;
.
Используя закон парности касательных напряжений (2.4), получим:
,
(2.5)
(2.6)
При выводе формул (2.5), (2.6) учтена тригонометрическая зависимость .
Формулы (2.5), (2.6) позволяют определять значения нормальных и касательных напряжений в любых площадках, проходящих через данную точку, если известны напряжения ив любых двух проходящих через нее взаимно перпендикулярных площадках.
По формуле (2.5) вычислим сумму нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках, для одной из которых угол равен, а для другой:
,
т. е.
(2.7)
Таким образом, сумма величин нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках есть величина постоянная. Следовательно, если в одной из таких площадок нормальные напряжения имеют максимальное значение, то в другой - минимальное.
При выводе формулы (2.7) были использованы следующие тригонометрические зависимости:
,,,
,.