5.6. Растяжение и сжатие

(5.13)

Закон Гука при растяжении - сжатии имеет следующий вид:

.

Формула Коши для относительной линейной дефор­ма­ции в на­п­рав­лении оси x, в случае одноосного напряженного сос­тоя­ния сог­лас­но (3.1):. Нормальные напряжения при растяже­нии-сжа­тии. Под­ста­вивив формулу (5.13), получим:

,

откуда

(5.14)

.

Проинтегрируем (5.14) от 0 до x

,

(5.15)

.

Формула (5.15) определяет перемещения произвольного сечения при рас­тяжении-сжатии.

5.7. Сдвиг. Чистый сдвиг

Чистым сдвигом называется такой случай плоского напря­жен­но­го со­с­тояния, при котором в окрестности дан­ной точки можно выделить эле­мен­тар­ный па­раллеле­пи­пед с боковыми гранями, нахо­дя­­щимися под дей­ст­вием одних лишь ка­са­те­льных нап­­ряжений (рис. 5.3). По фор­му­лам (2.5) и (2.6) определим нор­ма­ль­ные и ка­сательные на­пря­же­ния на пло­щадкеn-n, про­хо­дя­щей через точкуOи сос­тав­ля­ю­щей уголc вертикальной ис­ход­ной пло­ща­д­кой:

(5.16)

,

(5.17)

Рис. 5.3

.

Из выражения (5.17) видно, что ка­са­те­ль­­­ные напряжения, по­ка­зан­­ные на рис. 5.3, по аб­солютной величине больше ка­са­тельных нап­ря­же­ний по любым дру­гим площадкам, проходя­щим через точку O(так какприипо абсо­лют­ной величи­не ме­ньше еди­ни­цы).

Cледовательно, касательные на­п­­­­ря­­­­же­ния , действующие по бо­ко­­вым граням рассмат­ри­вае­мого парал­лелепипеда, являются экстре­ма­ль­­ны­ми (и), а эти грани являются площадками чистого сдвига и об­ра­зуют с главными пло­­щад­ками углы, равные. Пло­щад­ки сдвига от­ли­чаются от ана­ло­гич­­ных площадок в общем случае нап­ря­женного сос­то­я­ния тем, что по ним не действуют нормальные нап­ря­же­ния. В связи с этим их называют пло­щадками чистого сдвига.

Из формулы (5.16) следует, что приимеет макси­ма­ль­ное зна­­чение, равное(так как при этом), а при- минимальное значение, равное. Следо­ва­те­ль­­но, при чис­том сдвиге главные напряжения (т. е. экстремальные нор­маль­ные нап­ря­жения) и экстремальные касательные напряжения по абсо­лю­т­ной вели­чи­­не равны друг другу.

Подставим в выражение (5.16) значения углов и, со­от­­­­вет­ствующие двум взаимно перпендикулярным площадкам:

.

Следовательно, при чистом сдвиге нормальные напряжения на лю­бых двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по ве­ли­чине и противоположны по знаку. Поэтому чистым сдвигом мож­но наз­вать такое плоское напряженное состояние, при котором нор­мальные нап­ряжения на двух взаимно перпен­ди­ку­ляр­ных площад­ках равны друг дру­гу по величине и противоположны по знаку.

При чистом сдвиге полное напряжение pпо любой площадке, оп­ре­де­­ляемое выражением, как это следует из формул (5.16) и (5.17), рав­­но по абсолютной величине напряжению.

5.8. Деформация при сдвиге. Закон Гука при сдвиге

Напряженное состояние, изображенное на рис. 5.4, представ­ля­ет со­­бой чистый сдвиг. Нижнюю грань параллелепипеда будем считать зак­­реп­лен­ной. Это вполне допустимо, так как изучаются дефор­ма­ции эле­­мен­тар­но­го параллелепипеда, а не его перемещения как твер­до­го тела. В этом сос­тоянии длины ребер элементарного парал­ле­ле­пи­педа не изменяются, а из­меняются лишь углы между боковыми гра­нями: пер­­воначально прямые углы становятся равными и.

Каждая из граней параллелепипеда при деформации чистого сдви­га пе­ремещается относительно противоположной грани на вели­чи­­ну , на­­­зываемую абсолютным сдвигом.

Рис. 5.4

(5.18)

Отношение абсолютного сдвига к расстоянию между противо­по­­­­лож­ны­ми гранями называется относительным сдвигом; при малых де­фор­ма­циях оно равно величине угла сдвига- изменения перво­на­ча­льно пря­­мых углов между боковыми гранями параллелепипеда. Абсо­лютный сдвиг выражается в мерах длины, а относительный сдвиг - в радианах. Ве­ли­­­чина, как показывает опыт, прямо пропор­ци­о­нальна величине ка­са­те­­льных напряжений. Эта зависимость меж­дуи, называемая законом Гу­­ка при сдвиге, выражается в виде

,

или

.

(5.19)

Она справедлива при напряжениях, не превышающих предела про­пор­цио­нальности материала.

Коэффициент пропорциональности размерностьюв фор­­­му­лах (5.18), (5.19) называется модулем сдвига, или модулем уп­ру­гос­­ти вто­ро­го рода.

Модуль сдвига является физической постоянной материала, ха­ра­к­­­те­ри­зующей его жесткость (т. е. способность сопротивляться уп­­­ругим де­­фор­ма­циям) при сдвиге.

Деформации сдвига можно определять по формуле (5.18) не толь­ко при чистом сдвиге, но и в общем случае плоского напря­жен­но­го сос­­тоя­ния - когда по боковым граням параллелепипеда дейст­ву­ют не толь­ко ка­са­тельные, но также и нормальные напряжения. Это является следствием то­го, что нормальные напряжения вызы­ва­ют лишь пос­ту­па­тельные пере­ме­щения боковых граней парал­ле­ле­пи­пе­да и не вызы­ва­ют изменения его прямых углов.