Лабораторная работа № 7 дисперсия призмы

Цель работы: изучение явления дисперсии света; определение зависимости показателя преломления от длины волны, дисперсии вещества и угловой дисперсии призмы.

Обеспечивающие средства: ртутная лампа, коллимато, зрительная труба, гониометр, призмы из стекла «флинт» и «крон».

Теоретическая часть Электронная теория дисперсии.

Разложение белого света в спектр с помощью стеклянной призмы (рис. 1) впервые было изучено И. Ньютоном. Его опыты, а также эксперименты предшественников показали, что фиолетовые лучи отклоняются от первоначального направления сильнее, чем красные. Это явление можно объяснить, если предположить, что стекло, из которого сделана призма, имеет различный показатель преломления для различных длин волн. Тогда лучи с разными длинами волн λ будут распространяться в призме по различным направлениям и выйдут из призмы тоже под разными углами - произойдет разложение падающего излучения в спектр.

Дисперсией света называются явления, обусловленные зависимостью показателя преломления от частоты или длины волны излучения:

(1)

Один из важнейших выводов электромагнитной теории света Максвелла состоит в том, что показатель преломления электромагнитных волн равен (в системе СГСэ):

(2)

Здесь ε и μ - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды - постоянные, которые в первоначальной теории полагались не зависящими от частоты падающего света. Поскольку для всех диэлектриков с очень большой точностью μ= 1, то показатель преломления:

(3)

Феноменологическая электромагнитная теория света Максвелла не объясняла и не могла объяснить теорию дисперсии. Трудности объяснения дисперсии света с точки зрения электромагнитной теории устраняются с помощью электронной теории.

Классическая теория дисперсии, предложенная впервые Г.А. Лорентцем, основана на воздействии светового поля (электромагнитных волн) на связанные электроны атомов с учетом их торможения. Согласно электронной теории дисперсии, диэлектрик рассматривается как совокупность осцилляторов, совершающих вынужденные колебания под действием светового излучения.

Для того, чтобы получить соотношение, связывающее показатель преломления с длиной волны, необходимо вначале найти, как зависит от частоты диэлектрическая проницаемость ε, а затем на основании формулы (3) перейти к показателю преломления.

Рассмотрим поведение прозрачного изотропного вещества в электромагнитном поле световой волны. Пусть в единице объема вещества содержится N атомов - осцилляторов. Для простоты будем предполагать, что:

1. среда состоит из одного сорта атомов;

1. каждый атом содержит только один электрон, взаимодействующий со световой волной;

2. электроны соседних атомов не взаимодействуют друг с другом.

Рассмотрим поляризацию среды под действием внешнего электромагнитного поля. Согласно электронной теории электроны в атомах диэлектрика находятся в состоянии равновесия. Под действием внешнего поля они смещаются от положения равновесия на некоторое расстояние r , превращая атом в электрический диполь с дипольным моментом p=er, тогда электрический момент единицы объема (поляризованность среды) равен:

(4)

здесь е - заряд электрона.

Связь между векторами электрической индукции D, напряженностьюэлектрического поля внутри диэлектрика Ē и поляризованностью среды Р имеет вид:

(5)

Подставляя формулу (4) в выражение (5):

(6)

или с учетом формулы (3) имеем:

(7)

Рассмотрим силы, действующие на электрон в атоме, при действии на него электромагнитной волны.

Вынуждающая сила. Вынужденные колебания электрона возникают под действием световой волны, распространяющейся в среде. В этом случае на электрон действует вынуждающая сила:

(8)

где Ē и Ħ - напряженности электрического и магнитного поля световой волны, соответственно; с - скорость света в вакууме;dr/dt= υ - скорость движенияэлектрона в атоме.

Так как второе слагаемое в формуле (8) в υ/c ≈10^-3 раз меньше, чемпервое, то магнитная составляющая поля оказывает очень малое воздействие на движущийся электрон. Поэтому этим слагаемым можно пренебречь. В этом случае выражение для вынуждающей силы принимает вид:

(9)

Будем исходить из того, что напряженность электрического поля световой волны изменяется по гармоническому закону:

E = Eoexp(iωt),

(10)

где ω- круговая частота падающего излучения.

Удерживающая сила. Представляя атом гармоническим осциллятором с определенной круговой частотой собственных колебаний ω_о, можно считать, что электрон в атоме удерживается в положении равновесия квазиупругой силой:

(11)

которая пропорциональна смещению электрона от положения равновесия r, возникающему под действием поля световой волны. Квазиупругая сила всегда имеет знак обратный направлению смещения. Круговая частота собственных колебаний электрона определяется массой электрона т и коэффициентом квазиупругой связи k:

(12)

Тормозящая сила. Допущение о гармоническом колебании электрона в атоме имеет приближенный характер. В действительности колеблющийся электрон в атоме испускает электромагнитные волны и постепенно теряет свою энергию и, следовательно, амплитуда его колебаний с течением времени уменьшается, т. е. происходит процесс затухания.

Потеря энергии электроном связана не только с излучением, но и с взаимодействием атомов среды между собой (например, столкновениями), с хаотическим тепловым движением атомов (эффект Доплера) и т. п. Феноменологически потерю энергии осциллирующим электроном можно учесть введением силы сопротивления (трения), пропорциональной скорости электрона, как это делается в механике:

(13)

где g - коэффициент, зависящий от природы атома. Отрицательный знак в выражении для силы сопротивления указывает на то, что она всегда направлена против смещения электрона от положения равновесия.

Таким образом, дифференциальное уравнение движения электрона в атоме будет иметь вид:

(14)

или с учетом формул (9), (11), (13):

(15)

Введем обозначения: γ=g/m, ω₀ ² = k/m. Разделим обе части уравнения (15) на

массу электрона т и перегруппируем слагаемые:

(16)

Нас интересует частное решение уравнения (16), которое описывает установившиеся вынужденные колебания электрона в атоме. Эти колебания под действием гармонической внешней силы (9) и (10) также будут гармоническими, и их частота совпадает с частотой вынуждающей силы ω. Поэтому решение

уравнения (16) для смещения электрона от положения равновесия можно искать в

виде:

(17)

Замечая, что:dr/dt=iωr, d²r/dt²=iω²r, из уравнения (16) следует:

(18)

или

(19)

Подставляя выражения (17) и (19) в формулу (7), получаем зависимость показателя преломления среды от частоты падающего света, т. е. существование дисперсии:

(20)

Согласно выражению (20), диэлектрическая проницаемость ε (a следовательно, и показатель преломления) - величина комплексная. Если в (20) положить γ = 0, то диэлектрическая проницаемость будет вещественной. Переход от комплексного значения показателя преломления к вещественному означает пренебрежение поглощением электромагнитной волны. Рассмотрим это приближение:

(21)

Можно выявить те условия, при которых приближение γ = 0 имеет вполне определенный физический смысл. Все прозрачные тела не имеют полос поглощения в видимой области спектра, а при переходе в ультрафиолетовую часть спектра подавляющее большинство таких тел начинает интенсивно поглощать электромагнитные волны (здесь не учитываются инфракрасные полосы поглощения, наблюдаемые у некоторых прозрачных тел). Для всей видимой части спектра справедливо неравенство ω « ω_о, т. е. дисперсия изучается вдали от линий поглощения. Иными словами, частота собственных колебаний осциллирующего электрона соответствует ультрафиолетовой области спектра.

Используя предположение ω « ω₀, можно разложить выражение (21) в ряд по степеням ω/ω₀ и ограничиться в этом разложении двумя членами; тогда:

(22)

В (22) заменим ω=2πc/λ и ω₀=2πс/λ₀ ,где λ и λ_о - длина волны падающегоизлучения и длина волны, соответствующая собственным колебаниям электрона в атоме. Следовательно:

(23)

где А = 4πNe²/mω₀² , B=4π²c²/ω₀² и отношение B/A не зависит от частоты собственныхколебаний электрона ω_о. Константы А и В в выражении (23) можно оценить из опыта, например, из наблюдения зависимости п(λ).

Соотношение (23) согласуется с известной формулой Коши:

(24)

которая получена из представлений теорий упругости и хорошо описывает экспериментальную зависимость показателя преломления от длины волны для прозрачных веществ.

При больших концентрациях вещества необходимо учитывать взаимодействия между электронами атомов. В этом случае формула (21) принимает вид:

(25)

Призменные спектральные приборы. Дисперсия призмы.

В основе действия спектральных приборов, предназначенных для разложения света сложного состава на составляющие и для пространственного разделения по длинам волн, лежат такие явления, как интерференция, дифракция и дисперсия света.

Спектральный прибор, диспергирующим элементом которого является призма, называется призменным спектроскопом (если картина наблюдается визуально) или спектрографом (если спектр фотографируется или записывается при помощи специального устройства).

Говоря о дисперсии, следует различать дисперсию материала, из которого сделан диспергирующий элемент, и дисперсию самого прибора.

Показатель преломления прозрачного материала (в частности, стекла) зависит от длины волны проходящего светового пучка (примерный вид такой зависимости приведен на рис. 2). Эта зависимость будет различна для разных материалов и даже для одного и того же материала в различных участках спектра.

Показатель преломления изменяется быстрее вблизи полосы поглощения. Скорость его изменения при изменении длины волны называется дисперсиейматериала. Дисперсия материала численно равна dn/dλ, где dn изменениепоказателя преломления при изменении длины волны на величину dλ. Дисперсия прибора характеризует скорость изменения угла отклонения светового пучка в приборе при изменении длины волны. Такая дисперсия называется угловой дисперсией прибора и определяется отношением:

(26)

где dθ- угол между лучами с длинами волн λ и λ+dλ (рис. 3.)

В спектральном приборе призма устанавливается симметричным образом так, что в самой призме луч света распространяется параллельно основанию (на рис. 3 это луч с длиной волны λ). В этом случае угол θ, характеризующий отклонения луча после преломления его в призме, минимален (т. е. призма установлена под углом наименьшего отклонения) и внутри призмы луч идет параллельно ее основанию. Если обозначить через А преломляющий угол призмы при ее вершине, в случае угла наименьшего отклонения θ можно получить формулу для показателя преломления материала призмы:

(27)

При учете зависимости показателя преломления материала призмы (стекла) от длины волны получается следующее выражение для угловой дисперсии призмы:

(28)

Продифференцируем выражение (27):

(29)

Так как, согласно основному тригонометрическому тождеству, из (27) следует:

(30)

Выражение для угловой дисперсии призмы (28) с учетом (29) и (30) принимает вид:

(31)

Таким образом, при заданной геометрии (угол А обычно составляет примерно 60°, так как при больших углах для некоторых длин волн уже наступает полное внутреннее отражение на второй грани призмы) дисперсия призмы

целиком определяется значениями п и dn/dλ. Очевидно, что выгодно использоватьоптические материалы с большими значениями этих величин. Так как для всех прозрачных веществ (рис. 2) показатель преломления увеличивается с уменьшением длины волны (т. е. имеет место нормальная дисперсия), то использование призмы в качестве диспергирующего элемента наиболее выгодно именно в коротковолновой области. Правда тяжелые сорта стекла («флинт») с наибольшими значениями показателя преломления очень сильно поглощают фиолетовые лучи и для исследования в этой пограничной с ультрафиолетом области часто используют более прозрачное легкое стекло («крон»), у которого пи dn/dλ значительно меньше, чем у «флинта».