§5. Линейные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется дифференциальное уравнение вида: (1),

где – неизвестная функция аргумента.

Уравнение (1) линейно относительно и.

Если , то уравнение (1) примет вид:(2), и называется линейным однородным. При этом уравнение (1) называется линейным неоднородным.

Уравнение (2) называется линейным однородным, соответствующим линейному неоднородному уравнению (1).

А. Интегрирование линейного однородного уравнения

Рассмотрим линейное однородное уравнение (2)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Пусть , тогда. (3)

Отсюда общий интеграл или

заменяем на

Но есть любое число, кроме нуля. Положим.

–произвольная постоянная (4). Это общее решение не содержит функции , которая является решением уравнения (2). Для того чтобы общее решение содержало бы все решения, его надо записать в виде:(5),

где С – произвольная постоянная, принимающая любые значения.

Пример. Написать общее решение уравнения .

Решение. Имеем . Поэтому(произвольную постоянную можно считать = 0). И– общее решение.

В. Интегрирование линейного неоднородного уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (1)

Для его интегрирования применим метод вариации произвольной постоянной. Положим (6)

Здесь решение ищется в такой же форме, как для однородного уравнения, но вместо произвольной постоянной стоит функция – новая неизвестная функция. Для ее определения подставляемy, определенное по (6), в (1).

или .

Отсюда

Следовательно, . (7)

Это и есть общее решение уравнения (1). Оно содержит все решения. Особых решений нет.

Рассмотрим вопрос об отношении частного решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию . (8)

Теорема. Решением задачи Коши служит функция:

. (9)

Замечания:

1. Формулу (9) можно записать короче, если ввести под интеграл:

(10)

2. Если в формуле (10) считать произвольной постоянной (при этом значениебезразлично какое), то формула (10) определит общее решение уравнения (1).

3. Запоминать формулу (10) не следует. Надо помнить способ получения формулы (7).

Примеры:

1. Найти общее решение уравнения

Решение. Здесь . Вычислим(С можно положить = 0).

Положим . Так как, то.

Подставляем в уравнение .

Отсюда .

Следовательно, общее решение будет

2. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию.

Решение.

Здесь .

Общее решение .

Найдем из начального условия:.

Частным решением, удовлетворяющим условию , будет.

Теорема. (о структуре решения линейного неоднородного уравнения)

Общее решение линейного неоднородного уравнения состоит из суммы: какого-либо частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения.

§6. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

, (1)

где n – любое число, не обязательно целое.

При уравнение Бернулли превращается в линейное неоднородное уравнение. Прионо превращается в линейное однородное уравнение.

Таким образом, уравнение Бернулли служит некоторым обобщением линейных уравнений, в общем случае оно является нелинейным дифференциальным уравнением (при и).

Однако во всех случаях его решение тесно связано с решением линейного уравнения.

Теорема. Пусть и. Тогда уравнение Бернулли (1) подстановкоюсводится к решению линейного уравнения (для функцииz).

Замечание. Уравнение Бернулли (1) может быть решено другим способом. Введем вместо неизвестной функции две неизвестные функциии, такие, что. (7)

Подставляя это в уравнение (1), получим:

(8)

Из этого одного уравнения определить две функции u и v нельзя.

Для того, чтобы определить конкретные функции и, необходимо задать еще одну зависимость междуи, причем вообще говоря, произвольную.

Но проще всего положить . (9)

Тогда уравнение (8) примет вид: или, считая(или, что то же,). (10)

Так как есть решение однородного линейного уравнения (9), то его можно считать его известным:. (11)

Здесь, при интегрировании уравнения (8), мы положили произвольную постоянную . Это можно делать, так как за функциюмы можем взять любое решение уравнения (9).

Итак, известно. Отсюда следует, что уравнение (10) для определениябудет с разделяющимися переменными (считаем). (12)

Отсюда получаем :или(13)

Формулы (11) и (13) позволяют построить решение уравнения Бернулли

.

Такой способ решения годится и для и . В этом случае только формула (13) будет иметь другой вид, именно:, гдеС – произвольная постоянная.

Пример. или.

Это уравнение Бернулли. Здесь .

Преобразуем уравнение, разделив его на :.

Положим , тогда.

Следовательно, или.

Отсюда .

и – особое решение.