§3. Уравнения с разделяющимися переменными.

Эти уравнения самые простые. При решении какого-либо уравнения его стараются свести к уравнению с разделяющимися переменными.

А. Уравнение с разделенными переменными Уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида:

(1)

Переменные разделены, каждая из них находится только в той части равенства, где ее дифференциал. и– заданные функции.

Теорема. Общим интегралом уравнения (1) служит соотношение . (2)

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. или– общий интеграл.

Теорема. Частным решением уравнения (1), удовлетворяющим начальному условию будет функция, определенная из равенства. (4)

Пример. Найти решение уравнения , удовлетворяющего условию

Решение. .

В. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: (5)

В этом уравнении легко разделить переменные. Для этого поделим уравнение на произведение . Тогда получим:. (6)

Это уравнение с разделенными переменными. При переходе от уравнения (5) к уравнению (6) мы могли потерять некоторые решения, которые обращают в нуль произведение , именноили. (7)

Уравнение (7) есть конечное (без производных) уравнение относительно . Его решением служат,, … и т.д. Заметим, что константыслужат решениями уравнения (5), т.к.и.

Общим интегралом (5) будет . (8)

Если решения получаются из (8) при подходящем выбореС, то такие решения суть частные, если же подобрать нужное С невозможно, то они особые решения.

Следовательно, если у уравнения (5) есть особые решения, то соответствующие им графики, т.е. интегральные кривые – это прямые параллельные оси ОХ.

Частным решением уравнения (5), удовлетворяющим начальному условию будет функция, определенная уравнением:

. (9)

Пример. Для уравнения найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее условию.

Решение.

а) Общий интеграл. Делим на ..

Отсюда или– общий интеграл.

б) Частное решение.

Частное решение: .

с) Особое решение.

Возможна потеря решений. Оба эти решения особые.

§4. Однородные уравнения.

Определение. Уравнение(1) называется однородным, еслиможет быть представлена как функция отношения своих аргументов, т.е.. (2)

Таким образом, однородное уравнение имеет вид: (3)

Теорема. Однородное уравнение (3) имеет общий интеграл: . (4)

Замечание 1. В доказательстве теоремы мы предполагаем, что . Рассмотрим тот случай, когда. Здесь имеются две возможности.

а) Тогдаи уравнение (3) принимает вид:.

Это уравнение с разделяющимися переменными и здесь никаких преобразований делать не нужно.

б) уравнение удовлетворяется лишь при определенных значениях . В этом случае могут быть потеряны решения . Интегральные кривые суть прямые, проходящие через начало.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Уравнение однородное. Полагаем ..

Если , то. Отсюда.

–общий интеграл.

Может быть потеряно решение или.

Действительно, есть решение рассматриваемого уравнения и оно не может быть получено из общего интеграла ни при каком значенииС, следовательно есть особое решение.

Замечание 2. Формулу (4) запоминать не следует. Надо уметь ее выводить в каждом конкретном случае, как это сделано в примере.

Замечание 3. Для интегрирования уравнения более общего вида, чем (3) . (6)

(обобщенное однородное) сначала делают замену неизвестной функции и независимой переменной по формулам ; выбираяитакими, чтобы исчезли свободные члены в числителе и знаменателе аргументав (6), тогда (6) приводится к однородному уравнению.