Дифференциальные уравнения

§1. Общие понятия

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n–ого порядка называется соотношение вида: (1),

где – независимая переменная;– искомая функция переменной;

–производные искомой функции; – известная функция своих аргументов.

Считается, что производная на самом деле входит в выражение (1), а величинымогут и не входить в него.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения, n, называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Пример.

1. –уравнение первого порядка;

2. –уравнение второго порядка;

3. –уравнение пятого порядка.

Определение 3. Всякая функция , которая, будучи подставленная вместоy в выражение (1), обращает это выражение в тождество, называется решением дифференциального уравнения (1).

Если – решение, то по определению

(2)

Пример.

–решение, так как

У рассматриваемого уравнения есть еще такое решение:

где С – произвольная постоянная.

Это значит, что это уравнение имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра (С).

Можно показать, что уравнение n–ого порядка имеет семейство решений, зависящих от произвольных независимых друг от друга постоянных.

Пример.

Уравнение имеет решение:

.

Определение 4. Процесс разыскания решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Определение 5. Решение дифференциального уравнения (1), содержащее n независимых между собой произвольных постоянных, называется его общим решением.

, (3)

Замечание. Дифференциальное уравнение может иметь не одно, а несколько общих решений. Например, для уравнения функциииявляются общими решениями, причем разными, так как первая из них обращается в нуль (С=0), а вторая – никогда в нуль не обращается.

Определение 6. Соотношение , (4)

связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и n произвольных постоянных, называется общим интегралом уравнения (1). Следовательно, в общем интеграле решение задано в неявном виде.

Пример.

Рассмотрим уравнение: . Отсюдаили. Поэтому, гдеС – произвольная постоянная.

–общий интеграл; – общее решение.

Определение 7. Решение, полученное из общего при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Пример. Уравнение . Его общее решение. ПоложимС=2, тогда – частное решение.

Определение 8. Особым решением по отношению к данному общему решению называется такое решение, которое не может быть получено ни при каких значениях произвольных постоянных, входящих в общее решение.

Пример. Уравнение имеет два общих решения:

1) 2)

Решение: есть частное по отношению к первому и особое по отношению ко второму общему решению.

Определение 9. График частного решения называется интегральной кривой рассматриваемого дифференциального уравнения. Уравнение этой линии есть уравнение (3) и (4) при фиксированных .

Таким образом, общее решение (или общий интеграл) определяет семейство интегральных кривых, каждая из которых соответствует определенному набору значений произвольных постоянных.

Пример. . Общее решение.