4.2.5. Непрерывное начисление процентов

В зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляется различными темпами, причем с возраста­нием частоты накопленная сумма увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дробле­нии годового интервала. Из формулы (4.7) следует:

lim (1 +r/m) ^{k · m} = е ^{r · k} при m  ∞,

так как lim (1 + 1/m)^m = е при m +∞,

где е — одна из важнейших постоянных математического анализа, относящая­ся к группе так называемых замечательных пределов; трансцендентное число е = 2,718281... широко используется в элементарной математике (при построении логарифмических и показательных функций), а также в теории вероятностей и математической статистике (при построении функций распределения).

Таким образом, при непрерывном начислении процентов в пределах одного года используется следующая базовая формула:

F₁ = Р · е ^r (4.12)

Пример

Рассчитать накопленную сумму для различных вариантов на­числения процентов за один год, если исходная сумма Р = 1000 руб. и r = 10%.

Р	Частота начисления	Fn	Наращение
			Базисное	цепное
1000 1000 1000 1000 1000 1000	Ежегодное (m = 1) Полугодовое (m = 2) Квартальное (m = 4) Ежемесячное (m = 12) Ежедневное (m = 365) Непрерывное (m = ∞)	1100,00 1102,50 1103,81 1104,71 1105,16 1105,17	–– +2,50 +3,81 +4,71 +5,16 +5,17	–– +2,50 +1,31 +0,90 +0,45 +0,01

Приведенные расчеты подтверждают наличие прямой зависимо­сти между частотой начисления процентов и накопленной суммой; последняя графа таблицы показывает, что с увеличением частоты начисления темп прироста накопленной суммы уменьшается.

Графически изменение накапливаемой суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид (рис. 4.4).

Ежегодное Полугодовое Непрерывное

начисление начисление начисление

Рис. 4.4. Различные варианты начисления процентов

Сравнительная характеристика и интерпретация приведенных графиков достаточно очевидны, вместе с тем эти графики позво­ляют наглядно представить влияние частоты начисления процен­тов. При дискретном наращении каждая «ступенька» характери­зует прирост основной суммы в результате очередного начисле­ния, причем величина «ступеньки» все время возрастает. В рамках одного года одной «ступеньке» на левом графике соответствуют две «ступеньки» на среднем графике меньшего размера, однако в сумме они превышают первую «ступеньку» однократ­ного начисления. Таким образом, ордината точки, соответст­вующей концу трехлетнего периода, на среднем графике будет выше, чем на левом. Еще более быстрым темпом идет наращение при непрерывном начислении, что и показывает график справа.