- •Основы финансовой математики
- •4.1. Логика финансовых операций в рыночной экономике
- •4.1.1. Временная ценность денег
- •4.1.2. Операции наращения и дисконтирования
- •4.2. Процентные ставки и методы их начисления
- •4.2.1. Понятие простого и сложного процента
- •4.2.2. Области применения схемы простых процентов
- •4.2.3. Внутригодовые процентные начисления
- •Начисление процентов за дробное число лет
- •4.2.5. Непрерывное начисление процентов
- •4.2.6. Эффективная годовая процентная ставка
- •4.3. Понятие приведенной стоимости
- •4.4. Виды денежных потоков
- •4.5. Оценка денежного потока с неравными поступлениями
- •4.5.1. Оценка потока постнумерандо
- •4.5.2. Оценка потока пренумерандо
- •4.6. Оценка аннуитетов
- •4.6.1. Оценка срочных аннуитетов
- •4.6.2. Метод депозитной книжки
- •Метод депозитной книжки
- •4.6.3. 0Ценка аннуитета с изменяющейся величиной платежа
- •4.6.4. Бессрочный аннуитет
4.2. Процентные ставки и методы их начисления
Ссудо-заемные операции, составляющие основу коммерческих вычислений, имеют давнюю историю. Именно в этих операциях и проявляется прежде всего необходимость учета временной ценности денег. Несмотря на то, что в основе расчетов при анализе эффективности ссудо-заемных операций заложены простейшие, на первый взгляд, схемы начисления процентов, эти расчеты многообразны ввиду вариабельности условий финансовых контрактов в отношении частоты и способов начисления, а также вариантов предоставления и погашения ссуд.
4.2.1. Понятие простого и сложного процента
Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является 1 год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления:
схема простых процентов (simple interest);
схема сложных процентов (compound interest).
Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый. капитал равен Р; требуемая доходность — r (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину P·r . Таким образом, размер инвестированного капитала через n лет (Rn) будет равен:
Rn = Р + P · r + ... + P · r = Р • (1 + n · r) (4.3)
Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные, и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Следовательно, размер инвестированного капитала будет равен:
к концу первого года: F1 = Р + P · r = Р (1+ r );
к концу второго года: F2 = F1 + F1 · r = F1 · (1+ r ) = Р • (1 + r)2;
к концу n - го года: Fn = Р • (1 + r)n.
Как же соотносятся величины Rn и Fn ? Это чрезвычайно важно знать при проведении финансовых операций. Все зависит от величины n. С помощью метода математической индукции легко показать, что при n > 1,
(1 + r)n > 1 + n · r.
Итак, Rn > Fn, при 0< n <1;
Rn < Fn, при n >1.
Взаимосвязь Fn и Rn можно представить в виде графика (рис. 4.2).
Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:
более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года, (проценты начисляются однократно в конце периода);
более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);
обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов.
Рис. 4.2. Простая и сложная схемы наращения капитала
Пример.
Рассчитать наращенную сумму с исходной суммы в 1 млн. руб. при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если а) годовая ставка 20%; б) периоды наращения: 90 дн., 180 дн., 1 год, 5 лет, 10 лет.
Результаты расчетов имеют следующий вид:
(млн.руб.)
Схема начисления |
90 дней (n = 1/4) |
180 дней (n= 1/2) |
1 год (n =1) |
5 лет (n =5) |
10 лет (n = 10) |
Простые проценты 1,05 1,10 1,20 2,0 3,0 Сложные проценты 1,0466 1,0954 1,20 2,49 6,19 |
Таким образом, если денежные средства размещены в банке на срок в 90 дней (менее одного года), то наращенная сумма составит: при использовании схемы простых процентов — 1,05 млн.руб.; при использовании схемы сложных процентов — 1,0466 млн.руб. Следовательно, более выгодна первая схема (разница — 3,4 тыс.руб.). Если срок размещения денежных средств превышает один год, ситуация меняется диаметрально — более выгодна схема сложных процентов, причем наращение в этом случае идет очень быстрыми темпами. Так, при ставке в 20% годовых удвоение исходной суммы происходит следующим темпом: при использовании схемы простых процентов за пять лет, а при использовании схемы сложных процентов — менее чем за четыре года.
Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.
Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителя FМ1(r,n), называемого мультиплицирующим множителем и обеспечивающего наращение стоимости, табулированы для различных значений r и n (см. приложение 3). Тогда формула алгоритма наращения по схеме сложных процентов переписывается следующим образом:
Fn= Р· FМ1(r,n), (4.4)
где FМ1(r,n) = (1 + r)n — мультиплицирующий множитель.
Экономический смысл множителя FМ1(r,n) состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар, одна иена и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке r. Подчеркнем, что при пользовании этой и последующими финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки. Так, если базисным периодом начисления процентов является квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.
В практических расчетах для наглядной и быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки наращения при реализации схемы сложных процентов пользуются приблизительным расчетом времени, необходимого для удвоения инвестированной суммы, известным как «правило 72-х». Это правило заключается в следующем: если r — процентная ставка, выраженная в процентах, то k == 72/ r представляет собой число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удвоится. Это правило хорошо срабатывает для небольших значений r (до 20%). Так, если годовая ставка r = 12%, то k = 6 годам. Подчеркнем, что здесь речь идет о периодах начисления процентов и соответствующей данному периоду ставке, а именно, если базовым периодом, т.е. периодом наращения, является квартал, то в расчете должна использоваться квартальная ставка. Следует также обратить внимание на то обстоятельство, что хотя в большинстве финансовых расчетов процентная ставка берется в долях единицы, в формуле алгоритма правила 72-х ставка взята в процентах.
Схема простых процентов используется в практике банковских расчетов при начислении процентов по краткосрочным ссудам со сроком погашения до одного года. В этом случае в качестве показателя n берется величина, характеризующая удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полугодие) в общем периоде (год). Длина различных временных интервалов в
расчетах может округляться: месяц — 30 дней; квартал — 90 дней; полугодие — 180 дней; год — 360 (или 365) дней.
Пример.
Выдана ссуда в размере 5 млн.руб. на один месяц (30 дней) под 130% годовых. Тогда размер платежа к погашению будет равен:
Rn = 5 • (1 + 30:360 • 130% : 100%) = 5,542 млн.руб