Математика. Комплексный анализ, часть 2

Глава 7

Элементы операционного исчисления

7.1Оригиналы и изображения

Операционноое исчисление есть набор методов для решения дифференциальных и интегральных уравнений путём сведения их к алгебраическим уравнениям; последние во многих случаях решаются проще. Для такого сведения используется одностороннее преобразование Лапласа функций, растущих не быстрее экспоненты. Если удаётся решить получившуюся алгебраическую задачу, то обратное преобразование Лапласа предоставляет решение исходной задачи.

Перейдём к точным формулировкам.

О п р е д е л е н и е 7.1.1. Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция f действительного аргумента t, удовлетворяющая следующим условиям:

(1)f кусочно-непрерывная функция;

(2)f является тождественным нулём на отрицательной полуоси;

(3)f растёт не быстрее экспоненты, то есть существуют такие константы C > 0; > 0, что для всех t > 0 справедливо

jf(t)j < Cet:

П р и м е р 7.1.1. Следующие функции являются оригиналами.

43

44 ГЛАВА 7. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

(

0; если t < 0

f(t) =

et3 ; если t > 0

оригиналом не является (почему?).

З а м е ч а н и е 7.1.1. В дальнейшем всегда будем подразумевать, что оригинал равен 0 на отрицательной полуоси и не будем упоминать об этом каждый раз.

О п р е д е л е н и е 7.1.2. Односторонним преобразованием Лапласа opигинала f называется функция комплексного переменного p

Функция F называется также изображением оригинала f.

Корректность определения, то есть сходимость интеграла в (7.1) при Re p > следует из третьего условия в определении 7.1.1.

Т е о р е м а 7.1.1. Если f(t) F (p), то

откуда следует (7.2).

Доказательство следующего факта можно прочитать, например, в [4, Глава VI, п.10].

Т е о р е м а 7.1.2. Если f(t) F (p), то функция F (p) является голоморфной в полуплоскости fp 2 C : Re p > g и её производные доставляются формулой

То, что функция F (p) является изображением оригинала f(t) записывается так:

f(t) F (p):

П р и м е р 7.1.2. Изображением оригинала e2t является функция

+1

Z

F (p) = e2te pt dt:

0

Интеграл сходится в полуплоскости Re p > 2, поэтому

1

F (p) = p 2:

Символическая запись:

e2t p 1 2:

За м е ч а н и е 7.1.2. Поскольку мы ограничимся только односторонним преобразованием Лапласа, слово "одностороннее" будем опускать.

За д а ч а 7.1.1. Найти изображения следущих оригиналов:

(1)f(t) = t;

(2)f(t) = sin t;

(3)f(t) = et.

Р е ш е н и е.

то есть

Вдальнейшем мы будем (как правило) опускать упоминание Re p > .

7.2Свойства преобразования Лапласа

Следующие две теоремы сразу следуют из (7.1).

46 ГЛАВА 7. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Линейность и подобие

Т е о р е м а 7.2.1. Изображение линейной комбинации оригиналов есть линейная комбинация их изображений:

f(t) + g(t) ! F (p) + G(p):

Следующая теорема называется теоремой подобия.

Т е о р е м а 7.2.2. Для любой вещественной константы k > 0 справедливо

f(kt) k1 F kp :

З а д а ч а 7.2.1. Найти изображение функций sin !t; e t.

Р е ш е н и е. Из теоремы подобия и задачи (7.1.1)следует

Дифференцирование оригинала и изображения

Преобразование Лапласа переводит операцию дифференцирования в "безобидные" операции умножения на аргумент и вычитания констант!

З а м е ч а н и е 7.2.1. В следующей теореме предполагается, что если 0 точка разрыва оригинала или какой-либо его производной, то под значением функции в 0 подразумевается предел при t ! 0 справа.

Также будем предполагать, что если производная g0(t) является оригиналом, то сама функция g(t) непрерывна.

Т е о р е м а 7.2.3. Если функции f(t); f0(t); : : : ; f(n)(t) суть оригиналы и

f(t) F (p), то

f0(t) pF (p) f(0);

f00(t) p2F (p) pf(0) f0(0);

: : :

f(n)(t) pnF (p) pn 1f(0) pn 2f0(0) f(n 1)(0):

Д о к а з а т е л ь с т в о. Интегрируем по частям:

З а д а ч а 7.2.2. Найти изображение функции cos t.

З а д а ч а 7.2.3. Найти изображение функции sin2 t.

Р е ш е н и е. Обозначим искомое изображение через F (p). Так как (sin2 t)0 = 2 sin t cos t = sin 2t p22+4 , то из теоремы 7.2.3 следует

следует, что p22 pF (p), то есть t2 p23 . Применяя индукцию, получаем

tn pnn+1! .

Производная изображения есть изображение оригинала, умноженного

Р е ш е н и е. Так как cos t p2p+1 , то из теоремы 7.2.4 следует

Интегрирование оригинала и изображения

Преобразование Лапласа переводит операцию интегрирования в операцию деления на аргумент.

Т е о р е м а 7.2.5. Если f(t) F (p), то

t

Z

f( ) d F p(p):

0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как

+1

Z

f(t ) e ptf(t ) dt;

0

то, делая замену s = t и учитывая условие (2) в определении 7.1.1, получаем

ZZ

e ptf(t ) dt = e ps p f(s) ds = e p F (p):

Аналогично, смещение изображения равносильно умножению оригинала на (комплексную) константу.

Т е о р е м а 7.2.8. ("теорема смещения").

Если f(t) F (p), то eqtf(t) F (p q) для любого q 2 C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сразу следует из (7.1).

За м е ч а н и е 7.2.3. Эту теорему называют также "теоремой затухания", так как при Re q < 0 множитель eqt ! 0 при t ! +1.

За д а ч а 7.2.9. Найти изображения следующих функций.

Р е ш е н и е. (1) Из теоремы запаздывания сразу следует

З а д а ч а 7.2.10. Найти изображения оригиналов, чьи графики представлены на рис.7.1.

50 ГЛАВА 7. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

(3)

Рис. 7.1

Ре ш е н и е.

1.Обозначим через h(t) функцию-оригинал, равную 1 при неотрица-

тельных t. Тогда функция f1, чей график изображён на рис. 7.1, может

быть представлена в виде f1(t) = h(t) h(t 1). Далее, очевидно, что h(t) p1 . Из свойства линейности преобразования Лапласа и теоремы за-

теоремы об интегрировании оригинала 7.2.5 и предыдущего пункта следует

(1 e p)2 f3(t) p2 :

Рис. 7.2

Теорема о свёртке

Пусть f; g некоторые оригиналы.

О п р е д е л е н и е 7.2.1. Свёрткой f и g называется функция

t

Z

(f g)(t) = f( )g(t ) d :

0

Из определения 7.1.1 следует, что свёртка оригиналов есть оригинал. Также очевидно (надо сделать замену = t ), что f g = g f .

Оказывается, свёртке оригиналов соответствует произведение изображений.

Те о р е м а 7.2.9. Если f F; g G, то f g F G. Доказательство можно найти, например, в [6, §47] .

В следующей таблице приведены изображения часто встречающихся оригиналов.

Восстановление оригинала по изображению

До сих пор мы искали изображение по заданному оригиналу. А как найти оригинал по известному изображению? Будем, как и прежде, обозначать оригинал через f(t), а его изображение через F (p). Доказательство следующей теоремы можно найти, например, в [6, §48] .

Т е о р е м а 7.2.10. ("обратное преобразование Лапласа"). Если оригинал f(t) непрерывен в точке t и имеет в ней конечные односторонние производные, то справедлива формула

a iN

где a любое действительное число, большее .