Математика. Комплексный анализ, часть 2

П р и м е р 5.4.1. Пусть f( ) = 2, окружность радиуса 1 с центром в точке z = 1 + i. Тогда

Так как функция + (1 + i) голоморфна в круге радиуса 1 с центром в 1 + i, то в силу теоремы 5.3.6

1 Z

2 i

( + (1 + i))d = 0:

Из задачи 5.1.1 следует, что

Но (1 + i)2 = 2i. Таким образом,

З а д а ч а 5.4.1. Пусть = fz : jz 2j = 3g окружность радиуса 3 с центром в точке 2 действительной оси. Вычислить

Zez2

z2 8z dz:

Р е ш е н и е. Знаменатель подинтегральной функции обращается в 0 в двух точках: z = 0; z = 8. В круге U, ограниченном окружностью , содержится

лишь z = 0. Обозначим

e 2 f( ) = 8

и перепишем интеграл так:

Z

f( )d :

Функция f( ) является голоморфной в круге U, поэтому из теоремы 5.4.1 следует, что

Глава 6

Степенные ряды, особые точки, вычеты

6.1Числовые и функциональные ряды

В п.1.1 Части I, см. определения 11 13, были введены понятия последовательности комплексных чисел, её предела, ряда комплексных чисел и др. Рассмотрим подробнее эти вопросы.

Как и в действительном анализе, можно рассматривать комплексные числовые ряды

k=0

где zk 2 C.

Ряд (6.1) называется сходящимся, если сходится последовательность его

частичных сумм

n

X

Sn = zk;

k=0

то есть существует и конечен

lim Sn = S:

n!1

В этом случае число S называется суммой ряда.

Поскольку сходимость комплексной последовательности fwng; wn = an + ibn к числу w = a + ib равносильна сходимости последовательностей fang и fbng к a и b соответственно, то сходимость ряда (6.1) равносильна

Как и в действительном анализе, ряд (6.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

k=0

24

26 ГЛАВА 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ, ОСОБЫЕ ТОЧКИ, ВЫЧЕТЫ

О п р е д е л е н и е 6.1.1. Множество M D точек z 2 D, в которых сходится ряд (6.3), называется множеством сходимости ряда.

П р и м е р 6.1.1. Множеством сходимости ряда

1

X

(z 3)2n

n=0

является круг fjz 3j < 1g, поскольку в нём ряд сходится абсолютно (почему?), а для во всех прочих точках не выполняется необходимый приз-

нак сходимости (z 3)2n ! 0 (почему?).

n!1

О п р е д е л е н и е 6.1.2. Ряд (6.3) называется равномерно сходящимся на множестве K, если для любого " > 0 найдётся такое N > 0, что для всех n > N

для всех z 2 K. Здесь число N не зависит от z 2 K.

П р и м е р 6.1.2. Ряд

1

X

zn

n=0

сходится равномерно в круге fjzj < a; 0 < a < 1g, но в круге fjzj < 1g он не является равномерно сходящимся!

З а м е ч а н и е 6.1.1. Как и в действительном анализе, сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций является непрерывной функцией. Равномерно сходящийся функциональный ряд также можно интегрировать: если ряд непрерывных на кусочно-гладкой кривой функций

1

Подробности см., например, в [9, Глава XII, §2]. Что касается дифференцирования функциональных рядов, то в комплексном случае справедливо более общее утверждение.

6.2Степенные ряды

О п р е д е л е н и е 6.2.1. Ряд

1

X

n=0

где a некоторое комплексное число, называется степенн´ым.

Очевидно, множество сходимости ряда (6.5) непусто: в нём всегда имеется точка a.

Следующая теорема носит имя Н.Абеля и принимается нами без доказательства. Последнее можно найти, например, в [4, Глава 4], [10, §6].

Т е о р е м а 6.2.1. Если степенной ряд сходится в некоторой точке z0 2 C, то этот ряд сходится и в круге fz : jz aj < jz z0jg, причём на каждом замкнутом подножесте этого круга он сходится абсолютно и равномерно.

В качестве следствия получаем следующее утверждение "формулу Коши-Адамара".

С л е д с т в и е. Если для коэффициентов степенного ряда (6.5) выполняется

где 0 6 R 6 1 (здесь предполагается 10 = 1 и 11 = 0). Тогда в любой точке z такой, что jz aj < R, ряд (6.5) сходится, а в любой точке z такой, что jz aj > R, ряд (6.5) расходится.

З а м е ч а н и е 6.2.1. Черта над знаком предела обозначает верхний предел последовательности. В отличие от "обычного" предела, он существует всегда. Если последовательность имеет предел (конечный или бесконечный), равный A, то верхний предел также равен A. Подробности можно узнать, например, в [8, Глава 1, §4, п.42].

О п р е д е л е н и е 6.2.2. Круг fz : jz aj < Rg называется кругом сходимости, число R называется радиусом сходимости ряда.

Сформулированное следствие утверждает, что степенной ряд всегда сходится внутри круга сходимости (исключая граничную окружность) и расходится вне него (также исключая граничную окружность). В точках граничной окружности ряды с одинаковым радиусом сходимости могут вести себя по-разному.

П р и м е р 6.2.1. Найти круги сходимости и исследовать поведение на граничных окружностях рядов

Все три ряда имеют один и тот же круг сходимости: jzj < 1. Для ряда (1) из (6.6) сразу следует R = 1.

Для ряда (2):

28 ГЛАВА 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ, ОСОБЫЕ ТОЧКИ, ВЫЧЕТЫ

Для ряда (3):

Ряд (1) расходится во всех точках граничной окружности, поскольку общий член ряда не стремится к нулю. Ряд (2) в некоторых точках сходится, например (в силу теоремы Лейбница о знакочередующихся рядах), в z = 1; в некоторых расходится, например, в z = 1 (так как превращается в гармонический ряд с показателем 12 ). Ряд (3) сходится всюду на граничной окружности (почему?).

З а м е ч а н и е 6.2.2. Как и в действительном анализе, если существует (возможно, бесконечный) предел

то он равен радиусу сходимости. Чаще удобнее пользоваться именно этой формулой.

З а д а ч а 6.2.1. Найти радиус сходимости рядов

11

XX

является голоморфной функцией в круге его сходимости.

6.3Ряды Тейлора

В предыдущем разделе было установлено, что сумма степенного ряда голоморфная функция в круге сходимости. Оказывается, справедливо и обратное утверждение: голоморфную функцию можно представить в виде степенного ряда ряда Тейлора, коэффициенты которого вычисляются с помощью интегральной формулы Коши.

Т е о р е м а 6.3.1. Если функция f голоморфна в области D, то в любом круге U D радиуса R с центром в точке a 2 D эта функция может быть представлена в виде сходящегося степенного ряда

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из интегральной формулы Коши (5.6) следует, что

где z любая точка открытого круга, ограниченного окружностью r. Далее проделаем трюк: представим 1 z в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии:

Следовательно, ряд (6.13) мажорируется сходящейся геометрической прогрессией, а потому сходится равномерно на r. Из замечания 6.1.1 следует, что этот ряд можно почленно интегрировать по , и из (6.11) вытекает, что

О п р е д е л е н и е 6.3.1. Степенной ряд (6.9) с коэффициентами, вычисляемыми по формуле (6.10), называется рядом Тейлора функции f

с центром в точке a.

С л е д с т в и е. ("неравенства Коши") В условиях теоремы справедливо неравенство

1

jcnj 6 rn max jf( )j: (6.14)

r

32 ГЛАВА 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ, ОСОБЫЕ ТОЧКИ, ВЫЧЕТЫ

Р е ш е н и е.

З а д а ч а 6.3.3. Разложить по степеням 2z 1 функцию ez и найти радиус сходимости.

Р е ш е н и е. Обозначим t = 2z 1, тогда наша функция примет вид

Следующая теорема является обратной к теореме 5.3.1 с дополнительным условием непрерывности функции f.

Т е о р е м а 6.3.5. ("теорема Мореры"). Если функция f непрерывна в области D и интеграл от неё по любому ориентированному треугольникуD, равен 0, то f голоморфна в D.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмём произвольную точку a 2 D, обозначим через U круг с центром в a, целиком лежащий в D. Из теоремы 5.3.2 и замечания 5.3.1 следует, что функция

Z

F (z) = f( )d

[a;z]

голоморфна в U и F 0(z) = f(z) 8z 2 U. Из теоремы 6.3.2 следует, что f голоморфна в U, следовательно, и в любой точке D.

Следующее утверждение подводит итог рассуждениям о связи голоморфности, разложимости в степенной ряд и интегрируемости.

Т е о р е м а 6.3.6. Пусть f функция, определённая в некотором круге

Uс центром в точке a. Следующие утверждения эквивалентны.

1.Функция f голоморфна в U.

2.Функция f непрерывна в U и интеграл по любому ориентированному треугольнику в U равен 0.

3.Функция f разлагается в степенной ряд в U.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из теоремы 5.3.1 следует справедливость 1 ) 2. Из теоремы 6.3.5 следует справедливость 2 ) 1. Из теоремы 6.3.1 следует справедливость 1 ) 3. Из теоремы 6.2.2 следует справедливость 3 ) 1.