Математика. Комплексный анализ, часть 2

6.4Ряды Лорана

Ряды Тейлора удобны для представления голомофны функций в кругах. Но практически важным оказывается и случай, когда рассматриваемая функция f голоморфна в кольце (или проколотой области) вида

n= 1

называется сумма двух рядов

+1 +1

XX

Ряд (6.18) называется сходящимся, если оба эти ряда сходятся.

Т е о р е м а 6.4.1. ("теорема Лорана") Если функция f голоморфна в кольце (6.17), то она представляется в этом кольце в виде суммы сходящегося ряда

где есть окружность радиуса ; r < < R.

О п р е д е л е н и е 6.4.2. Ряд (6.19), коэффициенты которого вычисляются по формуле (6.20), называется рядом Лорана функции f в кольце U. Часть ряда с неотрицательными индексами называется правильной частью, а часть ряда с отрицательными индексами главной частью.

Вычислять коэффициенты ряда Лорана по выведенной формуле бывает

З а д а ч а 6.4.2. Разложить в ряд Лорана функцию 1 1 z в U1 = fz : 0 < jzj < 1g и в U2 = fz : jzj > 1g .

Р е ш е н и е. В области U1 эта функция представляется в виде сходящегося ряда 1 + z + z2 + z3 + : : : . В области U2 представим её в виде

6.5 Нули и особые точки

Нули функции

2

О п р е д е л е н и е 6.5.1. Точка a C называется нулём функции f, если f(a) = 0.

Оказывается, голоморфная функция в окрестности конечного нуля a устроена очень просто: она является произведением ненулевой голоморфной функции и (z a)n.

Т е о р е м а 6.5.1. Пусть f голоморфна в некоторой окрестности точки a 2 C, f(a) = 0, f не является тождественным нулём ни в какой окрестности a. Тогда найдётся такая голоморфная в точке a функция ' и такое натураль-

ное n, что

f(z) = (z a)n'(z);

причём '(z) 6= 0 в некоторой окрестности a.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В окрестности a функция f разлагается в степенной ряд (по степеням (z a)), причём отличны от 0 лишь коэффициенты с положительными номерами (так как c0 = f(a) = 0). Поэтому найдётся такое n, что

f(z) = cn(z a)n + cn+1(z a)n+1 + = (z a)n'(z); cn 6= 0;

где '(z) = cn + cn+1(z a) + : : : (этот ряд сходится, следовательно, ' голоморфна). Так как '(a) = cn 6= 0, то в некоторой окрестности a непрерывная функция ' не принимает значения 0.

О п р е д е л е н и е 6.5.2. Порядком нуля называется минимальное k, для которого f(k)(a) 6= 0.

Очевидно, число n в доказанной теореме является порядком нуля a.

П р и м е р 6.5.1. Найдём нули функция f(z) = z4 + 2z2. Так как f(z) = z2(z 2i)(z + 2i), то имеется три нуля: a1 = 0; a2 = 2i; a3 = 2i. Порядок a1 равен 2, остальные простые нули, то есть первого порядка.

З а д а ч а 6.5.1. Найти нули и их порядки функции f(z) = 1 + ch z.

36 ГЛАВА 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ, ОСОБЫЕ ТОЧКИ, ВЫЧЕТЫ

Следующие теоремы устанавливают связь между типом изолированной особой точки и видом лорановского разложения функции в окрестности этой точки.

Т е о р е м а 6.5.2. Изолированная особая точка a 2 C функции f является устранимой тогда и только тогда, когда разложение f в ряд Лорана в окрестности a не содержит главной части:

1

X

f(z) = cn(z a)n:

n=0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность очевидна: если в разложении отсутствуют отрицательные степени, то имеется конечный предел

lim f(z) = c0: z!a

Необходимость следует из неравенств Коши (6.14): если jf(z)j < M в проколотой окрестности UR(a), то jcnj 6 Mn для всякого 0 < < R и всякого целого n. Если n < 0 и ! 0, то правая часть неравенства стремится к 0, а левая от не зависит. Значит, cn = 0 8n < 0.

Т е о р е м а 6.5.3. Изолированная особая точка a 2 C функции f является полюсом тогда и только тогда, когда главная часть разложение f в ряд Лорана в окрестности a содержит положительное число отличных от нуля

членов:

1

n= N

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность следует из того, что функция '(z) = c N +

Доказанная теорема даёт основание для следующего определения.

О п р е д е л е н и е 6.5.7. Порядком полюса a функции f называется число N из лорановского разложения (6.21) функции f. Полюс 1-го порядка называют простым.

Т е о р е м а 6.5.4. Изолированная особая точка a 2 C функции f является существенно особой тогда и только тогда, когда главная часть разложение f в ряд Лорана в окрестности a содержит бесконечно много отличных от нуля членов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность очевидна: если особая точка не является существенно особой, то из теорем 6.5.2, 6.5.3 следует конечность числа членов главной части её лорановского разложения (включая случай их отсутствия). Также очевидна и необходимость: если в лорановском разложении главная часть состоит из конечного числа членов (или их нет вовсе), то a не может быть существенно особой точкой.

Т е о р е м а 6.5.5. Точка a 2 C является полюсом функции f тогда и только тогда, когда функция g(z) = f(1z) , не равная 0 тождественно, голоморфна в окрестности a и g(a) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность. Так как g(z) 6 0, то g(z) 6= 0 в некоторой проколотой окрестности a (это утверждение следует из так называемой теоремы единственности, см., например, [10, Глава 2, §6, п.22], [4, Глава VI, п.8]). Тогда f голоморфна в этой окрестности, следовательно, точка a является её изолированной особой точкой и f(z) ! 1 при z ! a. Необходимость доказана в теореме 6.5.3.

У т в е р ж д е н и е 6.5.1. Порядок полюса a функции f есть порядок нуля a функции f1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Следует из доказательства теоремы 6.5.3.

З а м е ч а н и е 6.5.1. Если особая точка есть 1, то особенность определяется членами ряда Лорана с неотрицательными степенями. Теоремы 6.5.2, 6.5.3 и 6.5.4 справедливы и для a = 1, если главной частью лорановского разложения в окрестности 1 считать члены с неотрицательными степенями, а правильной с отрицательными. Теорема 6.5.5 также справедлива для a = 1. Вообще, функция g(z) = f(z1 ) имеет в 0 ту же особенность, что f в 1.

З а д а ч а 6.5.3. Определить характер особых точек функции 1 sin1 z .

Р е ш е н и е. Функция имеет полюсы в точках zk = 2 + 2 k; k 2 Z. Их порядок равен порядку нулей функции f(z) = 1 sin z. Так как

f(zk) = f0(zk) = 0; f00(zk) = 1; то f(z) = (z zk)2(1 + : : : );

поэтому все нули 2-го порядка. 1 является существенно особой точкой, так как не существует предела sin z при z ! 1.

З а д а ч а 6.5.4. Определить характер особых точек функции f(z) = z sh z1 .

с отрицательными степенями бесконечно много, поэтому 0 существенно особая точка. Из этого же разложения следует, что 1 устранимая особая точка.

38 ГЛАВА 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ, ОСОБЫЕ ТОЧКИ, ВЫЧЕТЫ

6.6Вычеты

Вычет это некая числовая характеристика особой точки функции. Оказывается, интегралы от голоморфных функций можно вычислять,

используя вычеты.

Пусть точка a 6= 1 является изолированной особой точкой функции f, а r (достаточно малая) окружность с центром в a, так что в круге, ею ограниченном, нет других особых точек.

О п р е д е л е н и е 6.6.1. Вычетом f в точке a называется интеграл от f по r, делённый на 2 i:

Из теоремы 5.3.5 следует корректность определения, то есть независимость от r.

Следующая теорема устанавливает связь между вычетами голоморфной функции и её интегралом.

Т е о р е м а 6.6.1. Пусть функция f голоморфна в области G за исключением конечного числа изолированных особых точек, пусть в области G содержится ограниченная область D вместе с ориентированной границей (см. определение 5.3.4). Пусть a1; a2; : : : ; an особые точки f, лежащие в D и пусть не содержит особых точек. Тогда

Zn

X

f(z) dz = 2 i resf: (6.23)

j=1 aj

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для каждой особой точки aj; j = 1; : : : ; n возьмём круг Uj с центром в aj и такого (достаточно малого) радиуса, что все Uj D. Граничные окружности j ориентируем против часовой стрелки. Из обощённой теоремы Коши 5.3.7 следует

Zn Z

X

f(z) dz f(z) dz = 0:

j=1 j

Минус перед суммой появляется вследствие ориентированности j против часовой стрелки. Из (6.22) вытекает (6.23).

Следующая теорема показывает, как связаны вычеты с лорановским разложением.

40 ГЛАВА 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ, ОСОБЫЕ ТОЧКИ, ВЫЧЕТЫ

У т в е р ж д е н и е 6.6.1. Если a 2 C полюс 1-го порядка функции f, то

az!a

До к а з а т е л ь с т в о. Это следует из лорановского разложения в окрестности a:

1

X

f(z) = c 1(z a) 1 + ck(z a)k: k=0

З а д а ч а 6.6.2. Найти вычеты в конечных особых точках функции

ez

f(z) = (z + 2)(z 3):

Р е ш е н и е. Из утверждения 6.5.1 следует, что точки z = 2; z = 3 суть полюсы 1-го порядка. Из (6.24) следует

z a

З а д а ч а 6.6.3. Найти вычеты в конечных особых точках функции

cos z f(z) = z3 + 1:

Р е ш е н и е. Из утверждения 6.5.1 следует, что точки

z1 = 1; z2 = ei 3 ; z3 = e i 3

42 ГЛАВА 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ, ОСОБЫЕ ТОЧКИ, ВЫЧЕТЫ

Т е о р е м а 6.6.5. (лемма Жордана). Пусть f(z) голоморфна в верхней полуплоскости за исключением конечного числа особых точек (не лежащих на действительной оси) и f(z) ! 0 при z ! 1; Im z > 0. Тогда для любого> 0 справедливо

Z

lim f(z)ei z dz = 0:

R!1

R

З а м е ч а н и е 6.6.2. Смысл этого утверждения: функция f может стремиться к 0 настолько медленно, что интеграл не будет стремиться к 0, а умножение f на ei z ускоряет стремление интеграла к 0.

Лемма Жордана удобна при вычислении несобственных интегралов от функций вида R(x) sin x; > 0, где R(x) правильная рациональная дробь, то есть отношение многочленов, где степень числителя меньше степени знаменателя.

З а д а ч а 6.6.6. Вычислить

+1

Z

x cos x dx x2 2x + 10:

1

Р е ш е н и е. Обозначим подынтегральную функцию через g(x). Функция

f(z) = 2 z удовлетворяет условиям леммы Жордана и Re (f(x)eix) =

z 2z+10

g(x) 8x 2 R. Поскольку z2 2z+10 = (z (1+3i))(z (1 3i)), функция g(z)

имеет в верхней полуплоскости единственный полюс 1-го порядка в точке 1 + 3i и по теореме 6.6.1

то искомый интеграл равен 3 e 3(cos 1 3 sin 1):