Uchebnoe_posobie_Astrakov_S_N_20

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

С. Н. Астраков, А. С. Астракова

МАТЕМАТИКА

для менеджеров и социологов

Часть I

Учебное пособие

Новосибирск

2014

ББК 22.16

УДК 517

А 91

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. А. Е. Мамонтов

С. Н. Астраков, А. С. Астракова ; Новосиб. гос. ун-т. – Новосибирск : РИЦ НГУ, 2014. – 68 с.

ISBN 978-5-4437-0297-1

Пособие написано на основе опыта чтения лекций и ведения семинарских занятий на экономическом факультете. Содержание пособия соответствует программе годового курса «Математика» специальностей «Менеджмент» и «Социология». В первой части пособия приведены основные понятия и теоремы, что помогает сориентироваться в основных разделах курса. Во второй части представлены типовые задачи с указанием методов для их решений. Пособие можно использовать как для самостоятельной, так и для аудиторной работы студентов. В конце пособия приведена программа курса и общие рекомендации по изучению дисциплины и подготовке к экзамену.

ББК 22.16

УДК 517

2

3.Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие написано на основе опыта чтения лекций и ведения семинарских занятий по дисциплине «Математика» на первом курсе экономического факультета (специальности «Менеджмент» и «Социология»). Оно предназначено как для студентов (в качестве «путеводителя» по основному материалу), так и для преподавателей (как руководство для учебного процесса).

Пособие содержит основные понятия, теоремы и типовые задачи. Его цель – активное и неформальное усвоение студентами базового материала. При формулировке типовых задач делается акцент на то, что для группы задач одного задания существует соответствующий метод решения (по аналогии с задачами управления – план действий).

В главе I – «Основные понятия и теоремы» – приводятся определения и теоретические сведения. Формулировки теорем и определений в большинстве случаев соответствуют книге В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы математического анализа». Этих сведений достаточно, чтобы решать практические задачи по дисциплине. Понятно, что доказательства теорем придется посмотреть в лекциях или учебниках.

Вглаве II – «Типовые задания» – представлены типовые задачи с указанием методов для их решений. Такой подход предполагает одновременно усваивать теоретические положения и развивать практические навыки решения математических задач. Схема «Сначала мысль, потом действие» является правильной в любой деятельности. Более сложные задачи по данным и смежным темам можно найти в рекомендованных задачниках. Стоит подчеркнуть, что умение решать приведенные типовые задания и объяснять применяемые методы уже гарантирует получение студентами на экзамене, по крайней мере, хорошей оценки. Студенты менеджеры и социологи, у вас есть законное право требовать это.

Вглаве III пособия приведена программа курса и общие рекомендации по методике изучения дисциплины. Эту часть материала целесообразно использовать для подготовки к экзаменам первого и второго семестра. В конце главы находятся примерные варианты контрольных работ (чтобы можно было представить «сложность-

4

простоту» заданий) и образцы экзаменационных билетов. Практические задачи экзаменационных билетов составляются, как правило, в соответствии с типовыми заданиями главы II.

Пособие можно использовать как для самостоятельной, так и для аудиторной работы студентов. Надеемся, что пособие будет полезным для учебного процесса. Все замечания и пожелания (от студентов и преподавателей) с благодарностью постараемся учесть в следующих изданиях.

Авторы

5

I.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ

1.Множества и операции над ними. Под множеством

понимается любая совокупность объектов, называемых элементами множества. Наиболее часто используются следующие обозначения:

a A – элемент a принадлежит множеству А;

a A – элемент a не принадлежит множеству А; Ø – пустое множество (множество без элементов);

A B – множество А содержится во множестве В (А есть подмножество В);

А = В – равные множества ( A B, B A) .

Два основных способа задания множеств.

(1) Непосредственное перечисление всех элементов множества А, т. е.

Aa1 , a2 ,..., an .

(2)Определение множества А как подмножества некоторого основного множества Т, обладающее свойством α, т. е.

A x T : (x) ,

где запись (x) означает, что элемент х обладает свойством α. Операции над множествами.

1.Объединение множеств А и В: A B x : x A или x B .

2.Пересечение множеств А и В: A B x : x A и x B .

3.Разность множеств А и В: A \ B x : x A и x B .

4.Дополнение множества А до некоторого универсального

множества Т:

A x : x A x : x T \ A .

Свойства операций (законы).

Рефлексивность: ( A) A .

Двойственность: A B A B ; A B A B ; A B A B . Дистрибутивность: (A B) С (A C) (B C) ; ( A B) C

(A C) (B C) .

6

2. Действительные числа. Любое действительное (вещественное) число а представимо в виде бесконечной десятичной дроби:

a a0 , a1 , a2 ,..., an ,... .

Рациональные числа представимы в виде периодических, а иррациональные – в виде непериодических десятичных дробей. Рациональные числа можно записывать и конечной десятичной дробью, если в периоде стоит цифра 0 или 9. Например,

1/ 2 0,5 0,500... 0,5(0) или 1/ 2 0,5 0,499... 0,4(9) .

Пусть Х – непустое множество действительных чисел.

Определение. Множество Х называется ограниченным сверху

(снизу), если существует число М (m) такое, что для любого числа х из множества Х выполняется неравенство x M ( x m ). М

называется верхней гранью множества Х, m – нижней гранью.

Использование символьных обозначений:

M R x X x M – ограниченность сверху;m R x X x m – ограниченность снизу;M R x X x M – неограниченность сверху;m R x X x m – неограниченность снизу.

Определение. Число М0 называется точной верхней гранью

ограниченного сверху множества Х, если выполняются два условия:

M 0 supX . Аналогично определяется точная нижняя грань mo ограниченного снизу множества Х; для нее используется обозначение: m0 inf X .

Теорема 2.1. Ограниченное сверху (снизу) непустое множество Х имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

3.Метод математической индукции. Чтобы доказать

утверждение (n) для любого натурального числа n > no, достаточно показать следующее:

(1)утверждение (no ) является верным (база индукции);

(2)предполагая, что верно утверждение (k) , k no , доказать верность утверждения (k 1) (индукционный переход).

7

С помощью метода математической индукции можно доказать следующие утверждения.

4. Предел последовательности. Если каждому натуральному n

поставлено в соответствие некоторое число xn, то говорят, что определена числовая последовательность (или просто последовательность) x1, x2 , x3, ..., xn , .... Кратко ее обозначают

символом xn или xn . Число xn называют членом (элементом)

последовательности, а n – номером члена последовательности.

Определение. Число а называется пределом последовательности

Обозначение: lim xn a .

n

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предел, – расходящейся.

8

Теорема 4.1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 4.2 (необходимое условие сходимости последовательности). Сходящаяся последовательность является ограниченной.

Определение. Последовательность xn называется бесконечно

Теорема 4.3. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 4.4. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью.

n, xn b , то a b .

9

каждого вида монотонной последовательности выполняется следующая теорема.

Теорема 4.9. Монотонная ограниченная последовательность

{xkn } сходится к а при n .

Теорема 4.11 (принцип Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

10