A2. Свойства симметрии матрицы Мюллера

Пусть падающее излучение распространяется вдоль оси z, и предположим, что частица имеет плоскость симметрии, содержащую эту ось. Исследуем свойства матрицы Мюллера, проинтегрированной по всему азимутальному углу ϕ при постоянном полярном угле θ.

218

сравнению с результатами строгого моделирования. Эта ценность состоит в физическом понимании задачи светорассеяния, например, в правилах подобия, и возможности приближённо решить обратную задачу светорассеяния. Хотя мы обсуждаем все используемые предположения и приближения, точность итоговых выражений можно определить только эмпирически, сравнивая с результатами МДД.

Согласно РДГ, только диагональные элементы амплитудной матрицы рассеяния не равны нулю [14]:

где частица разделена на N + 1 областей: i = 0 соответствует цитоплазме, а остальные – N гранулам. mi и Vi это показатель преломления и объём каждой области, а h(V,n) – следующий формфактор:

где мы ввели q = k(ez − n). Формфактор шара, расположенного в центре координат, вычисляется аналитически [14]:

где r и x это радиус и размерный параметр шара, а зависимость от азимутального угла отсутствует. Асимптотическое поведение формулы (A8) следующее:

Используя линейность формулы (A6) по множителю m − 1, рассмотрим отдельно однородную цитоплазму в виде шара с множителем mc − 1 и наложенные гранулы с множителем mg − mc. Тогда формула (A6) переписывается в виде

i=1

Усреднение ξ(N) по всем возможным положениям гранул выполняется независимо для каждого слагаемого в сумме, что приводит к такому же интегралу, как в формуле (A7), следовательно

221

Второй момент модуля ξ(N) равен:

i, j=1

Рассмотрим сперва частный случай, предполагая, что ri и rj независимы. Другими словами, пренебрежём влиянием неперекрывания гранул на статистические свойства положения гранул. Это обоснованно только при достаточно малых объёмных долях гранул ( f <<1). Тогда

что есть в точности результат РДГ для однородного шара с эффективным показателем преломления me. Выражение для me – это упрощённый вариант ТЭС МаксвеллаГарнетта [формула (46)] в пределе mg и mc близких к единице. Для типичных параметров нашей задачи: mc = 1.015, mg = 1.2, λ = 0.4936 мкм и Dc = 8 мкм, даже при наименьших использованных xg и f (xg = 0.48 dg = 75 нм, f = 0.02) первый член в формуле (A15) (тот, что не зависит от N) примерно на порядок меньше чем второй. Следовательно можно пренебречь цитоплазмой, за исключением её объёма и эффективного уменьшения показателя преломления гранул. Тем самым, мы вводим предположение xc >>1 и используем его для вычисления формул (A12) и (A13), не используя условие f <<1. Неперекрывающиеся гранулы случайно расположены в

большом объёме с объёмной долей f. В пределе бесконечного объёма (N → ∞, f = const), это эквивалентно модели жидкости твёрдых шаров, для которой известно [280,281], что

где Sf это структурный множитель, для которого известно явное, но громоздкое выражение [280]:

222

Вывод уравнения (A20) в пределе xc >>1 похож на тот, что приведён в §3.3 монографии [282]. Итоговая интересующая нас величина это полная интенсивность бокового рассеяния [формулы (194) и (196)]:

где использована формула (A6). Поскольку усреднение и интегрирование можно поменять местами,

Используя формулу (A20), численное значение этого интеграла можно получить для любого набора параметров. Например, на рис. A1 показано сравнение результатов РДГ с моделированием на основе МДД для типичных параметров: mc = 1.015, mg = 1.2,

λ = 0.4936 мкм, Dc = 8 мкм, θ = ϕ = 25° и трёх объёмных долей f = 0.02, 0.05 и 0.1. РДГ является точным приближением при малых f, особенно при малых xg, однако оно систематически недооценивает ISS для бóльших f. Последнее связано с эффектами многократного рассеяния, которые значительны для больших f и полностью пренебрегаются в рамках РДГ. Тем не менее РДГ качественно описывает общее поведение ISS(xg) как при малых, так и при больших xg. Поэтому интересно проанализировать как результаты РДГ масштабируются при изменении параметров. Перепишем формулу (A22) в виде

где hSS(x,f ) это следующая функция:

223

Рис. A1. Сравнение результатов МДД (среднее ± 2×СО) и средних значений, вычисленных в рамках РДГ, для полной интенсивности бокового рассеяние при нескольких f. Использовались типичные параметры (описаны в тексте). Для удобства показаны две горизонтальные оси, соответствующие xg и dg.

где постоянные C1ap,2 определяются апертурными углами θ и ϕ. При этом C2ap

немного зависит от x, но мы этим пренебрегаем.

Общая зависимость ISS от mg, mc, xc и xg, описываемая формулами (A23) и (A26)

согласуется с результатами МДД (см. подраздел 4.2.4). Зависимость от f более сложная:

МДД, но только количественно. Поправки порядка f 2 РДГ предсказывает неточно, поскольку пренебрегаемое многократное рассеяние является величиной того же

224