Теоретические вопросы
Ι.ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Направленные отрезки и векторы. Сложение векторов и его свойства. Разность двух векторов.
Произведение вектора на число и его свойства.
Теоремы о коллинеарных и компланарных векторах.
Базис векторного пространства V2. Координаты вектора в данном базисе в V2. Теорема о координатах векторов в V2.
Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам в V3. Координаты вектора в данном базисе в V3. Теорема о координатах векторов в V3.
Скалярное произведение векторов. Вычисление скалярного произведения по координатам векторов в ортонормированном базисе. Свойства скалярного произведения.
Ориентация двумерного векторного пространства V2. Ориентация плоскости. Направленный угол между векторами на ориентированной плоскости.
Ориентация трехмерного векторного пространства.
Векторное произведение векторов. Вычисление координат вепкторного произведение векторов по из координатам в ортонормированном правом базисе. Свойства векторного произведения. Площадь треугольника и параллелограмма. Расстояние от точки до прямой.
10) Смешанное произведение векторов. Теорема о геометрическом смысле
смешанного произведения векторов. Вычисление смешанного произведение векторов по их координатам в ортонормированном правом базисе. Свойства смешанного произведения векторов. Объем тетраэдра, треугольной призмы, параллелепипеда. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
П. Метод координат на плоскости и в пространстве
11) Координаты точек на плоскости и в пространстве. Решение
простейших задач в координатах.
12) Формулы преобразования аффинной системы координат на
плоскости, формулы преобразования прямоугольной системы координат на плоскости. Формулы преобразования аффинной системы координат и пространстве.
13) Полярные координаты. Связь между полярными и прямоугольными
декартовыми координатами.
Теоретические задачи к коллоквиуму
Какому условию удовлетворяют векторы
,
если точкиА, В, С лежат на некоторой
окружности?Что можно сказать о векторах
и
,
если: а) |
+
| = |
|
+ |
|;
б) |
+
| = |
|–|
|; в) |
–
|
= |
|
+ |
|
?
3. Что можно
сказать о векторах
и
,
если: а) векторы
+
и
–
коллинеарны; б) |
+
|
= |
–
|
?
4. Какому
условию удовлетворяют векторы
и
,
если уравнение
+
х
=
имеет решение?
5. Приведите
пример компланарных векторов
,
,
,
для которых не существует чисел α и
β , удовлетворяющих равенству
= α
+ β
?
6. Дан вектор
(р1,р2,р3)
в базисе {
,
,
}.
Найти координаты вектора
в базисе: а) {
,
,
},
б) {–
,
,–
},в)
{
,
2
,4
}.
7. Для любых
ли векторов
,
,
,
где
и
,коллинеарные
векторы, верно равенство: (
)
=
(
).
8. Найти
скалярное произведение векторов
(а1,а2) и
(b1,b2), заданных в
базисе {
,
}?
если: а)
, |
| = |
|
=3; б)
(
,
) = α, |
|
= |
| = 1?
9. Существует ли на прямой М1М2такая точкаХ, что
(М1М2, Х) = (М2М1,Х)?
10. Простое отношение точек (АВ, М) = λ. Найти простое отношение точек (ВА,М).
11. Три точки А(х1,у1),В(х2,у2)С(х,у), заданные своими координатами в аффинной системе координат, лежат на одной прямой. Найти простое отношение (АВ,С).
12. Даны два
базиса {
,
}
и {α
,
β
}.
Где α и β – вещественные числа. Какому
условию удовлетворяют чисоа α и β, ели
данные базисы принадлежат: а) одной
ориентации; б) разным ориентациям?
13. Базис
{
,
,
}
принадлежит правой ориентации векторного
пространства. Какой ориентации принадлежит
базис: а) {
,
,
};
б) {
,
};
в) {
,
,
}?
14. Система
координат (О,
,
,
)–
левая, что можно сказать о системе
координат:
а) (О,
,
,
)
; б) (О,
,
,
,)
; в) (О,
,
,
)
?
15.
АВСDА1В1С1D1– куб. Система координат
)
– правая. Что можно сказать о системе
координат: а)
;
б) (
;
в) (
.
16. В ортонормированном левом базисе даны координаты векторов
(а1,а2,а3),
(b1,b2,b3),
(с1,с2,с3).
Найти смешанное произведение векторов
17. Смешанное
произведение векторов
= 0, следует ли из этого, что
=
?
Если нет, то что можно сказать о векторе
?
18. Смешанное
произведение векторов
= 5. Чему равно смешанное произведение
векторов (α
)
(β
)
(γ
)?
19. Верно
ли утверждение, что если
,
,
,то смешанное произведение
0?
20. Если
[
]
=
,
то следует ли из этого, что
=
?
Если нет, то что можно сказать о векторе
?
21. Векторное
произведение [
]
=
,
чему равно векторное произведение
[(α
)
(β
)]
?
22. Верно
ли утверждение, что если
,
,
то [
]
?
23. Верно
ли утверждение, что если [
]
= [
]
,
=
?
24. Записать формулы преобразования
координат при переходе от системы
координат (О,
)
к системе координат (О′,
),
если направленный угол между векторами
и
′
равен 30°,О′(0,2)
и данные системы координат принадлежат
разным ориентациям.
25.
АВСД– параллелограмм. Составить
формулы преобразования координат при
переходе от системы координат
к системе координат