-
Элементы теории множеств.
Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.
В
основе теории множеств лежат первичные
понятия: множество
и отношение быть
элементом
множества (обозначается как
[3] —
«x есть элемент множества A», «x принадлежит
множеству A»). Среди производных понятий
наиболее важны следующие:
-
пустое множество, обычно обозначается символом
; -
подмножество и надмножество;
-
семейство множеств;
-
пространство (Универсум);
-
конституента.
Над множествами определены следующие операции:
-
объединение (или сумма) (обозначается как
); -
разность (обозначается как
реже
); -
дополнение (обозначается как
или
); -
пересечение (или произведение) (обозначается как
); -
симметрическая разность (обозначается как
реже
).
Для множеств определены следующие бинарные отношения:
-
отношение равенства (обозначается как
); -
отношение включения (обозначается как
).
Логические символы
Квантор 
-
заменяет выражение "для любого",
"для произвольного", "для какого
бы ни было".
Квантор 
-
заменяет выражение "существует",
"найдется".
Запись 
(импликация)
означает, что из справедливости
высказывания A вытекает справедливость
высказывания B. Если, кроме того, из
справедливости высказывания B вытекает
справедливость A, то записываем 
.
Если 
,
то высказывание B является
необходимым и достаточным условием для
того, чтобы выполнялось высказывание A.
Если
предложения A и B справедливы
одновременно, то записываем 
.
Если же справедливо хотя бы одно из
предложений A илиB, то записываем 
.
2. Операции над множествами
Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.
Множество обозначают символом A = {x}, где x - общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в видеA = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями:
N - множество всех натуральных чисел; Z - множество всех целых чисел; Q - множество всех рациональных чисел; R - множество всех действительных чисел; C - множество всех комплексных чисел; Z0 - множество всех неотрицательных целых чисел.
Запись 
(или 
)
означает, что элемент a принадлежит
множеству A.
Запись 
(или 
)
означает, что элемент a не принадлежит
множеству A.
-
Построение таблицы истинности логических выражений.
Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию.
Под
«логической функцией» в данном случае
понимается функция, у которой значения
переменных (параметров функции) и
значение самой функции выражают
логическую истинность. Например, в
двузначной логике они могут принимать
значения «истина» либо «ложь»
(
либо 
, 
либо 
).
Таблицы истинности для основных двоичных логических функций
|
Конъюнкция
|
Дизъюнкция
|
Сложение по модулю 2
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Импликация
|
|
Эквиваленция
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Штрих Шеффера
|
Стрелка Пирса
|
Отрицание
|
Штрих Шеффера, высказывание X | Y означает, что X и Y несовместны, т.е. не являются истинными одновременно. От перемены мест операндов результат операции не изменяется.
Штрих Шеффера, как и стрелка Пирса, образует базис для пространства булевых функций от двух переменных. То есть используя только штрих Шеффера можно построить остальные операции. Например,
— отрицание
— дизъюнкция
— конъюнкция
—
константа
1
Стрелка Пирса, высказывание «X ↓ Y» означает «ни X, ни Y».