Задачи-упражнения

Способ выполнения

Решение для ситуации № 1

1. Выделите объект, о движении которого решается задача.

Решается задача о движении грабителя.

2. Выделите его начальное состояние.

Положение на пути к аэропорту до окончания регистрации.

3. Выделите его конечное состояние.

Около регистрационной стойки.

Способ выполнения

Решение для ситуации № 1

1. Выделите характеристику объекта или явления, которую требуется оценить в задаче.

Требуется измерить скорость движения поезда.

2. Установите, имеет ли смысл эта характеристика для отдельных точек тела. Если нет, сформулируйте отрицательный ответ.

Каждая точка состава движется с определенной скоростью.

3. Установите, можно ли считать эту характеристику одинаковой для разных точек тела в условиях задачи. Если нет, сформулируйте отрицательный ответ.

Скорость движения всех точек поезда можно считать одинаковой.

4. Выберите удобную для решения задачи точку тела.

Удобно фиксировать положение самого пассажира.

5. Сформулируйте ответ.

Для измерения скорости поезда удобно рассмотреть движение точки, в которой находится пассажир.

1

2

3

4

5

6

7

8

Способ выполнения

Решение для

ситуации № 1

1. Постройте проекцию вектора перемещения на заданную координатную ось. Обозначьте начальную координату и проекцию перемещения.

2. Выразите длину построенного отрезка через модуль вектора перемещения.

S_x =..S

3. Установите, совпадают ли направления вектора перемещения и координатной оси, и выберите знак проекции перемещения.

Противоположны

S_x = -S

4. Подставьте проекцию перемещения в уравнение.

x = x₀ -S

5. Сформулируйте ответ.

Уравнение связи координаты и перемещения x = x₀ –S, так как начальная координата не равна0, вектор перемещения параллелен оси0хи противоположен ей по направлению.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Способ выполнения

Решение для ситуации № 1

1. Установите величины, зависимость между которыми описывает график, и сделайте вывод о установления вида движения по графику.

График 1 описывает зависимость модуля перемещения от времени и позволяет установить вид движения.

2. Вспомните вид графика зависимости между этими величинами для равномерного движения.

График зависимости модуля перемещения от времени является отрезком прямой, проходящей через начало координат и наклоненной к оси 0t.

3. Установите, соответствует ли представленный график перечисленным признакам.

График является отрезком прямой, наклоненной к 0tи проходящей через начало координат.

4. Сформулируйте ответ.

График 1 описывает равномерное движение, поскольку для равномерного движения график зависимости модуля перемещения от времени является отрезком прямой, проходящей через начало координат и наклоненной к оси 0t.

1.

х = 5t

5.

S = 5t²

9.

х = 6t³ - 8t²+ t

13.

S = 25t

2.

x=600-20t

6.

x = 8y+5

10.

x = -300 + 7,5t

14.

υ_х = -36

3.

у =450 - l0t

7.

υ_х=12

11.

υ_х= 7 - 2t

15.

x = 15 +16t

4.

S = l0t

8.

S =3t²-5t

12.

у = 0,008t

16.

S =3t -4t²

Способ выполнения

Решение для ситуации № 1

1. Установите переменные величины, входящие в уравнение, и сделайте вывод о возможности установления вида движения по этому уравнению.

Уравнение 1 описывает зависимость координаты хот времени. По виду этой зависимости можно установить вид движения.

2. Вспомните вид зависимости между соответствующими величинами для равномерного движения и признаки соответствующего уравнения.

Для равномерного движения зависимость координаты от времени - линейная, в уравнение зависимости входит одночлен, содержащий tв первой степени.

3. Установите вид зависимости между величинами в представленном уравнении:

а) выделите в правой части одночлены, содержащие t;

б) выделите наибольшее значение степени t;

в) сделайте вывод о виде зависимости.

В уравнении 1 есть одночлен, содержащий tв первой степени -5t. Одночленов с другими степенямиtнет.

Уравнение описывает линейную зависимость координаты от времени.

4. Сформулируйте ответ.

Уравнение 1 описывает равномерное прямолинейное движение, так как является уравнением линейной зависимости координаты от времени.

1

2

3

4

5

6

7

8

Способ выполнения

Решение для ситуации № 2

1. Выделите по графику зависимые величины.

График 2 описывает зависимость координаты от времени.

2. Запишите уравнение зависимости для этих величин в общем виде.

Для равномерного движения уравнение зависимости координаты от времени имеет вид x = x₀ + υ_xt.

3. По графику S(t)найдите значение скорости:

а) выделите любую точку графика, найдите ее абсциссу (t, с) и ординату (S, м);

б) рассчитайте значение скорости.

4. По графику х(t)найдите значения начальной координаты и проекции скорости:

а) выделите точку Nпересечения графика с осью ординат и найдите ординату этой точки (х₀, м);

б) выделите любую точку графика и найдите ее абсциссу (t, с) и ординату (х, м);

в) рассчитайте проекцию скорости υ_х = (х- х₀)/t;

г) подставьте найденные значения в общее уравнение.

для точки N:t =0 c, x₀= 10 м

для точки М: t = 10 c, x = 0

υ_х = (0­10) м/10 с = ­ 1 м/с

x = 10 - t

5. Для зависимости скорости от времени найдите ординату любой точки графика и запишите значение проекции скорости.

Способ выполнения

Решение для ситуации № 1

1. Выпишите уравнение, для которого нужно построить график.

Уравнение 1, x = 5t, является уравнением зависимости координаты от времени.

Для равномерного движения

x = x₀ + υ_xt

2. Установите переменные величины в нем и запишите соответствующее уравнение равномерного движения в общем виде.

3. Выделите в общем уравнении характеристики движения, значение которых указывается в конкретном уравнении.

В уравнении x(t) для конкретного движения указываются числовые значения начальной координатыx₀ и проекции скоростиυ_x.

4. Установите значение этих характеристик в заданном уравнении.

x = x₀ + υ_xt

x = 0 + 5t

x₀ = 0;

υ_x= 5 м/с

5. Постройте график зависимости проекции или модуля скорости от времени:

а) постройте координатную плоскость (υ_x0t) и выберите масштаб по оси0υ, исходя из значения проекции скорости;

б) постройте точку с координатами (0,υ_х);

в) проведите отрезок прямой через построенную точку параллельно оси 0t.

6. Постройте график зависимости пути от времени:

а) задайте значение промежутка времени (t) и рассчитайте значение пути (S) в концу этого промежутка по уравнениюS =υt;

б) постройте координатные оси и выберите масштаб;

в) постройте точку с координатами (t, S);

г) проведите отрезок прямой через начало координат и построенную точку.

t = 1 c, S = 5 м

7. Постройте график зависимости х (у,z)отt:

а) задайте значение промежутка времени (t₁) и рассчитайте значение координаты (х₁, м) в концу этого промежутка по уравнению;

б) постройте координатные оси и выберите масштаб;

в) постройте точки с координатами (0,х₀) и (t₁, х₁);

д) проведите отрезок прямой через выделенные точки.

t₁ = 1 c,x = 5 м

3. Между автостанцией и аэропортом, отстоящими друг от друга на 30 км, курсируют автобусы по прямому шоссе. Графики движения двух автобусов представлены на рис.1. Начало координат связано с автостанцией.

рис.1

Способ выполнения

Решение для ситуации № 1

1. Постройте модель ситуации

а) выделите движущиеся тела и примите за МТ;

Модель ситуации

б) выделите начальные положения тел; изобразите;

в) выделите конечные положения тел; изобразите;

г) выберите систему координат;

д) выделите участки движения и обозначьте характеристики движения (x₀, S, υ, t) на каждом участке.

2. Опишите законы движения:

а) найдите значение характеристик движения (скорость, время, путь, начальную координату) для каждого участка;

б) составьте уравнения зависимости υ, S, x(у) от t;

в) постройте соответствующие графики зависимости.

υ₁ = 110 км/ч

x₀= S₁ = 13 км

t₁=13/110= 0,12 ч

S₍₁₎ = 110t (км)

x₍₁₎ = 13 - 110t (км)

υ₂ = 80 км/ч

y₀= S₂ = 9 км

t₂ = 9/80= 0,11 ч

S₍₂₎ = 80t (км)

x₍₂₎ = 9 - 80t (км)

3. Установите, достигнет ли цели каждый из участников:

а) сформулируйте цель движения в виде требований к значениям характеристик движения;

б) сформулируйте ответ

Патрульная машина сможет остановить виновника аварии на перекрестке, так как

t₂ < t₁.

Способ выполнения

Решение для ситуации № 1

1. Выделите тело, движение которого происходит с указанной скоростью.

Автомобиль движется со скоростью 30 км/ч.

2. Установите, является ли движение равномерным.

Не известно, является ли движение равномерным.

3. Если нет, выделите участок движения, к которому относится указанное значение скорости.

Это скорость движения в промежуток времени, когда водитель смотрит на спидометр.

4. Установите, является ли участок неравномерного движения большим или малым.

Этот участок движения можно считать малым.

5. Сформулируйте ответ.

30 км/ч– это значение мгновенной скорости автомобиля.

Способ выполнения

Решение для ситуации № 2

1. Выделите тело, для которого требуется построить вектор ускорения, и примите за МТ.

Требуется построить вектор ускорения для машины, совершающей маневр, например, для ее центра.

2. Выделите начальное состояние тела. Изобразите МТ и вектор скорости (υ₀).

В начале машина движется вперед (1).

3. Выделите конечное состояние тела. Изобразите МТ и вектор скорости (υ).

В конце машина движется задним

4. Выделите промежуточное состояние тела, в котором скорость равна 0. Изобразите.

ходом (3). В промежутке машина останавливается (2).

5. Выделите прямолинейные участки, на которых направление скорости не изменяется.

На участках 1-2 и 2-3 направление скорости не изменяется.

6. Установите характер изменения скорости на каждом участке и сделайте вывод о направлении ускорения. Постройте вектор ускорения.

На участке 1-2 скорость уменьшается, вектор ускорения направлен противоположно υ₀. На участке 2-3 скорость увеличивается, вектор ускорения направлен так же, какυ. Направление ускорения в течение всего маневра одинаково и противоположноυ₀.

Способ выполнения

Решение для ситуации № 1

1. Найдите значения начальной и конечной скоростей.

υ₀ = 60 км/ч

2. Найдите значение изменения скорости │υ- υ₀│ как разность или суммуυ и υ₀. (Модули скоростей надо складывать, если в процессе движения скорость сначала уменьшилась до нуля, а затем увеличилась до конечного значения.)

υ = 20 км/ч

│υ - υ₀│=υ₀ + υ

3. Найдите значение промежутка времени (t), за который произошло изменение скорости.

t = 10 с

4. Рассчитайте значение модуля ускорения как отношение изменения скорости ко времени.

a = 80 000 м/ 3600·10 c²

a = 2,2 м/ c²

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Способ выполнения

Решение для ситуации № 1

1. Установите величины, зависимость между которыми описывает график, и сделайте вывод о возможности установления вида движения по графику.

График 1 описывает зависимость проекции скорости от времени и позволяет установить вид движения.

2. Вспомните вид графика зависимости между этими величинами для равноускоренного движения.

График зависимости проекции скорости от времени является отрезком прямой, наклоненной к оси 0t.

3. Установите, соответствует ли представленный график перечисленным признакам.

График 1 является отрезком прямой, наклоненной к 0t.

4. Сформулируйте ответ.

График 1 описывает равноускоренное движение, поскольку для такого движения график зависимости модуля перемещения от времени является отрезком прямой, наклоненной к оси 0t.

1

υ_x = 5t

5

S =20t

9

у = 5х

13

x =100 - 2t - 5t²

2

S = 3t - 5t²

6

υ_x=30 - 0,1t

10

υ_x = 6

14

a_x = 0,5

3

у = -20 + 0,35t²

7

a_x = 7t

11

υ_x = -2t - 12t²

15

S = 5t + 0,05t²

4

x = 15 - 2t³

8

υ_x = 0,05t²

12

S = -2t² + 5t³

16

υ_x = 20t

Способ выполнения

Решение для ситуации № 1

1. Установите переменные величины, входящие в уравнение, и сделайте вывод о возможности установления вида движения по этому уравнению.

Уравнение 1 описывает зависимость мгновенной скорости υот времени. По виду этой зависимости можно установить вид движения.

2. Вспомните вид зависимости между соответствующими величинами для равномерного движения.

Для равноускоренного движения зависимость скорости от времени - линейная: в уравнение зависимости входит одночлен, содержащий tв первой степени.

3. Установите вид зависимости между величинами в представленном уравнении:

а) выделите в правой части одночлены, содержащие t;

б) выделите наибольшее значение степени t;

в) сделайте вывод о виде зависимости.

В уравнении 1 есть одночлен, содержащий tв первой степени -5t.

Уравнение описывает линейную зависимость скорости от времени.

4. Сформулируйте ответ.

Уравнение 1 описывает равноускоренное прямолинейное движение, так как является уравнением линейной зависимости скорости от времени.

Способ выполнения

Решение для ситуации № 1

1. Выделите по графику зависимые величины.

График 1 описывает зависимость проекции скорости от времени. Для равноускоренного движения уравнение зависимости проекции скорости от времени имеет вид υ_х = υ_0х + а_xt.

2. Запишите уравнение зависимости для этих величин в общем виде.

3. Выделите в общем уравнении характеристики движения, значение которых указывается в конкретном уравнении.

В уравнении υ_х (t) для конкретного движения указываются числовые значения проекции начальной скоростиυ_0х и проекции ускоренияа_x.

4. По графику υ_х(t) найдите значения проекции начальной скорости и проекции ускорения:

а) выделите точку (М) пересечения графика с осью ординат;

б) найдите ординату этой точки (υ_0х);

в) выделите любую точку (N) графика;

г) найдите ее абсциссу (t) и ординату (υ_х);

д) рассчитайте проекцию ускорения

а_х = (υ_х - υ_0х)/t;

е) подставьте найденные значения в общее уравнение.

т. М: t = 0, υ_0х= 7 м/с

т. N: t = 15 c , υ_х= 0

а_х = (0 - 7)/15 ≈ -0,5 м/c²

υ_х = 7 – 0,5t

5. По графику а_x(t)найдите значение проекции ускорения.

6. Запишите другие уравнения равноускоренного движения (уравнения зависимости от времени координаты, проекций перемещения и скорости) в общем виде и подставьте в них найденные значения величин.

S_x = υ_0хt + а_xt²/2

S_x = 7t -0,5t²/2

x = x₀+ υ_0хt + а_xt²/2

x = x₀ -7t + 0,5t²/2

Способ выполнения

Решение для ситуации № 1

1. Выпишите уравнение движения, для которого нужно построить графики.

Уравнение 1, υ = 5t, является уравнением зависимости скорости от времени.

Для равноускоренного движения

υ_х = υ_0х + а_xt

2. Установите переменные величины в нем и запишите соответствующее уравнение равноускоренного движения в общем виде.

3. Выделите в общем уравнении характеристики движения, значение которых указывается в конкретном уравнении.

В уравнении υ_х (t) для конкретного движения указываются числовые значения начальной скоростиυ₀ и проекции ускоренияа_x.

4. Установите значение этих характеристик в заданном уравнении.

υ_х = υ_0х + а_xt

υ_х = 0 + 5t

} =>

υ_0х = 0

а_x= 5 м/с²

5. Постройте график а_x(t ):

а) постройте координатную плоскость (а_x0t) и выберите масштаб по оси0 а_x, исходя из значения проекции ускорения;

б) постройте точку с координатами (0,а_х);

в) проведите отрезок прямой через построенную точку параллельно оси 0t.

6. Постройте график υ_х (t):

а) задайте значение промежутка времени (t) и рассчитайте значение проекции скорости (υ_х) в концу этого промежутка по уравнению;

б) постройте координатные оси и выберите масштаб;

в) постройте точку с координатами (0, υ_0х)

г) постройте точку с координатами (t, υ_х);

д) проведите отрезок прямой построенные точки.

t = 1 c,υ_х = 5 м/c

Способ выполнения

Решение

для ситуации № 1

1. Выделите тело, скорость движения которого изменяется.

Камни падают ускоренно под действием Земли.

2. Установите, является ли причиной изменения скорости притяжение к Земле или другому массивному телу.

3. Установите, можно ли пренебречь сопротивлением среды.

Сила тяжести камней много больше сопротивления воздуха.

4. Сформулируйте ответ.

Движение камней можно считать свободным падением, так как сопротивлением воздуха можно пренебречь по сравнению с силой тяжести/

3. График торможения самолета на взлетно-посадочной полосе приведен на рис.2.

4. Автомобиль совершает обгон движущегося впереди автобуса. Уравнение изменения координаты автомобиля имеет вид x = -10 + 3t². Система отсчета связана с автобусом.

рис.2

Способ выполнения

Решение для ситуации № 1

1. Постройте модель ситуации

а) выделите движущееся тело и примите за МТ;

Модель ситуации

Уравнения и графики движения

сноубордиста

б) выделите начальное состояние тела и его характеристики; изобразите;

в) выделите конечное состояние тела и его характеристики; изобразите;

г) выберите систему координат;

д) выделите характеристики изменения состояния (S,a); обозначьте.

2. Опишите законы движения:

а) найдите значение характеристик движения (скорость, время, путь, начальную координату) для каждого участка;

б) составьте уравнения зависимости а_ч, υ_ч, S, x(у) от t;

в) постройте соответствующие графики зависимости.

а_х = 1 м/с²

υ_х = t

S_x = t²/2

x = t²/2

t = 20 с

υ_х = 20 м/с