Дударев Владимир Иванович

Элементы векторной алгебры

1. Основные определения и обозначения

Скаляр – величина значения которой м.б изображена положительным или отрицательным числом

Вектор – величина значения, которой определяется размером и направлением в пространстве

{Длина вектора}={Модуль вектора}={Норма вектора}

Свободный вектор – вектор, который м.б перенесен в любую точку пространства параллельно самому себе

Единичный вектор – вектор модуль, которого равен 1. Он характеризует только направление в пространстве.

Орт – единичный вектор направление, которого совпадает с направлением заданного вектора

Орты, имеющие направление координатных осей обычно обозначаются i, j, k и образуют ортонормированный базис

Орты i, j, k или триады

О – начало координат

i, j, k – ортонормированный базис данной системы координат

Радиус-вектор – вектор начало, которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке n – мерного пространства.

Сумма векторов R = a + b + c… есть вектор R представляющий замыкающую ломанной линии составленной из слагаемых векторов

Сумма 2х векторов:

С = a + b:

Разность 2х векторов:

d = a – b = a + (- b)

a =b + d => d = a + (- b)

Произведение вектора a на скаляр α есть вектор b совпадающий с вектором a, но в α……

8*

b = α ∙ a

α = 4

1. Св-ва сумм и произведений векторов на скаляр

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

α_β – скаляр

3. Разложение векторов в прямоугольном базисе

Если разложение вектора a выполняется в прямоугольном базисе по ортам (i, j, k) то коэффициенты этого разложения: (1.1) обозначаемые скалярами () называются координатами вектораa.

Вместо (1.1) можно записать

Геоцентрический радиус-вектор – вектор начало, которого совмещаются с началом выбранной системы координат, а конец вектора расположен в точке трехмерного пространства

Топоцентрический радиус-вектор – вектор начало, которого располагается на поверхности земли, а конец в точке трехмерного пространства

Координаты вектора «а» яв-ся проекциями этого вектора на орты i, j, k.

Координатами радиус-вектора «r» в некоторой точке М (х, у, z ) яв-ся координаты этой точки.

Элементы матричной алгебры

2.1. Основные ………..

Матрица – массив (таблица чисел) размером «m*n» заполненный скалярами.

Здесь «m» число строк, «n» - столбцов, если m=n, то матрица называется квадратной, если m≠n, то матрица называется прямоугольной

Ели элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию , то матрица называетсясимметричной.

Матрица размерности 1*n называется матрицей строкой.

Матрица размерности m*1 называется матрицей столбцом.

T – знак транспонирования

Пример транспонирования матрицы:

Квадратная матрица «А» удовлетворяющая условию называется диагональной

Если , то матрица называется единичной

Ортогональная матрица – квадратная матрица, у которой норма (длина) столбцов или строк равна единице.

2.2. Сложение и перемножение матриц

Суммой (разностью) матриц А и В одинакового размера m*n называется матрица «С» того же размера элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов слагаемых матриц.

Произведением матриц А и В яв-ся матрица С элементы которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы k-ого столбца матрицы В.

При перемножении матриц число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй матрицы.

2.3. Матрицы вращения

Матрицы вращения применяются для преобразования векторов из одной прямоугольной системы координат (Oxyz) в другую (Ox′ y′ z′)

Матрицы вращения

α

O

Положительным углом вращения α считается такой угол, при котором вращение происходит против хода часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси вращения.

Пример: см. ←

Понятие о фигуре Земли

Сначала считалось, что Земля плоская, затем было принято, что Земля имеет форму шара. Затем определили радиус этого шара R=6 400 км.

По исследованиям геодезистов было установлено, что расстояние от центра Земли до экватора около 6 378 км, а до полюсов 6 357 км => Земля сплюснута с полюсов примерно на 21 км.

Эта модель Земли во многих случаях не устраивает человека, поэтому для решения научных и технических задач под фигурой Земли стали понимать поверхность ГЕОИДА.

Геоид – уровенная поверхность, совпадающая в океане с невозмущенной поверхностью воды мысленно продолженной под материками таким образом, чтобы направле6ния отвесных линий пересекали эту поверхность во всех её точках под прямым углом.

Под отвесной линией понимается – направление вектора силы тяжести в некоторой точке пространства.

Направление отвесной линии в заданной точке легко получить практически. Оно совпадает с нитью свободно висящего отвеса.

Для решения задач в геодезии поверхность геоида неудобна, т.к не известно как она проходит под материками. Кроме того форма геоида яв-ся сложной поверхностью, которую невозможно выразить в виде математических формул и констант.

В связи с этим за фигуру земли принимается поверхность эллипсоида вращения (выражаемую простым уравнением, решение задач на которой уже не представляет особой трудности)

Эллипсоид вращения, имеющий наибольшую близость к фигуре земли, называется общим земным эллипсоидом ОЗЭ.

Он определяется следующими условиями:

1. Геометрический центр ОЗР совпадает с центром масс Земли

2. Масса ОЗР совладает с массой земли

3. Поверхность ОЗР должна наилучшим образом описывать реальную форму Земли.

Для определения размеров ОЗР необходимо выполнять специальные геодезические измерения на всей поверхности Земли

В отдельных странах (группе стран) при обработке геодезических измерений принимаются эллипсоиды, полученные по результатам геодезических работ выполненных на территории данной страны (группе стран).

Такие эллипсоиды называются референц эллипсоидами. Они отличаются от ОЗР как своими размерами, так и ориентировкой в теле земли.

За референц эллипсоид в России принят референц эллипсоид Красовского в 1942 году.

Этот Р. Эллипсоид образует ортогональную систему координат СК-42 .

В качестве ОЗЭ принято Американская модель эллипсоида WGS-84, которая активно используется всеми странами.