beskin

221

находящиеся на расстоянии L друг от друга. Если это расстояние меньше длины грави-

тационной волны, то их относительное ускорение может достигать величин

Поскольку же смещение детекторов δL может быть теперь записано в виде δL = δgτ 2/2,

и, значит, относительное смещение детекторов также должно составлять лишь 10−20–

10−22.

222

9Упражнения

1.Получите коэффициент 4.965 в формуле (21).

3.Покажите, что наличие постоянной добавки 1/2 в выражении для энергии гармони-

ческого осциллятора (94) не изменяет выражение (20) для спектральной плотности излучения абсолютно черного тела.

4.Покажите, что для изотропного излучения плотность энергии w [эрг/см3] и плотность потока P [эрг/(см2 c)] связаны соотношением

5.Найдите спектральную плотность излучения P(λ), так, чтобы поток энергии через единичную площадку в интервале длин волн между λ и λ + δλ был равен P(λ)δλ.

6.Воспользовашись соотношеними E = hω¯ и p = h¯k для энергии и импульса фотона,

получите выражение

для изменения длины волны фотона в зависимости от угла рассеяния θ на покоя-

щемся электроне (эффект Комптона).

7.Нет ли ошибки на Рис. 4? В каком случае штриховая линия действительно будет соответствовать той же энергии налетающего фотона?

223

8.При Eγ mec2 фотоны, рассеяные при комптоновском рассеянии, будут заключены

в узком конусе, направленном в направлении движения (см. Рис. 4). Оцените угол раствора этого конуса.

9.Как изменится энергия фотона при лобовом соударении, если налетающий электрон имеет энергию Ee = γemec2 (γe 1)?

10.Волны, оставляемые движущимся по поверхности воды телом, имеют закон дисперсии

q

ω(k) = gk, (371)

где g ускорение свободного падения. Воспользовавшись формулами для фазовой (Vph = ω/k) и групповой (Vgr = dω/dk) скоростей, найти угол раствора следовой

дорожки и показать, что он не зависит от скорости тела.

11. Найдите произведение среднеквадратичных отклонений x и k для бегущей вол-

ны (53).

12.Оцените, сколько оборотов сделает электрон в магнитном поле B¯h (115), прежде

чем он потеряет значительную часть своей энергии.

13.Покажите, что оператор проекции момента импульса lz = y∂/∂z − z∂/∂y может быть записан просто как ∂/∂ϕ.

14.Воспользовавшись явным видом сферических функций второго порядка (164)–(168), получите матрицу поворотов для углового момента 2¯h (188).

16.Покажите, что если фотон энергии Eph mec2 рождает пару, двигаясь под углом

θ к магнитному полю, то после того, как вторичные частицы опустятся на нижний

224

уровень Ландау, их лоренц-факторы будут равны

17. Воспользовавшись законом движения релятивистской частицы

где первое слагаемое в правой части соответствует ускоряющему электрическому полю, а второе реакции излучения, покажите, что для стандартного радиопульсара (B0 = 1012 Гс, P = 1 с) энергия первичных электронов (как и позитронов) может достигать 109 МэВ, а энергия изгибных фотонов 108 МэВ.