beskin

211

.

Рис. 33: Плоская электромагнитная волна, падающая на область с поперечным сечением

δS и длиной l. Томсоновское сечение описывает затухание волны на длине l за счет переизлучения электронов, заполняющих объем (l · δS)

В заключение отметим, что, как можно проверить прямой подстановкой, волновая функция (329)

является решением уравнения Шредингера (86) для E = hω/¯ 2. Таким образом, в слу-

чае гармонического осциллятора для нижнего энергетического уровня реализуется минимальное значение произведения x px.

8.6Томсоновское сечение

Томсоноское сечение σT = 1/(nel) (109) (ne концентрация электронов, l характерная

длина поглощения) не имеет прямого отношения к квантовой механике. Оно описывает классическое сечение рассеяния электромагнитной волны на свободных электронах. Тем не менее, полезно привести здесь качественный вывод величины σT, поскольку она выражается через классический радиус электрона re (109).

Итак, рассмотрим плоскую электромагнитную волну, падающую на область с поперечным сечением δS (см. Рис. 33). Наша задача состоит в том, чтобы определить характерную длину l, на которой волна существенно затухнет за счет взаимодействия с электронами, заполняющими эту область. Для этого мы приравняем энергию волны Ein,

213

нужно, как и в случае самого импульса, определить соответствующий оператор. Проще

всего это сделать для квадрата момента импульса l2 = r2p2 . Прежде всего, вспомним, что для одномерного движения оператор квадрата импульса имеет вид pˆ2x = −h¯2d2/dx2 (92).

В трехмерном же случае, согласно правилам дисциплины, которая называется уравнения

Этот оператор носит имя П.-С. Лапласа (1749-1827) и является одним из основных операторов, используемых в физике. В частности, именно он и должен стоять в уравнении Шредингера, описывающего трехмерное движение частиц.

Понятно, что для описания трехмерного движения электрона в атоме более удобными будут сферические координаты r, θ и ϕ. В этих координатах оператор Лапласа имеет вид

Удобство такого выбора очевидно, например, из того, что доказательство известного со-

отношения ˆ2 , где √ 2 2 2, в сферических координатах

L f (r) = 0 f (r) = 1/r = 1/ x + y + z

производится фактически устно. Как уже говорилось, удобным способом решения урав-

нения Шредингера, содержащего оператор Лапласа ˆ2, является представление волновой

L

функции в виде ψ(r, θ, ϕ) = R(r)ψ(θ, ϕ) (134).

Вернемся теперь к квадрату углового момента l2. Согласно правилам квантовой ме-

ханики, мы должны этой величине сопоставить оператор

Легко понять, что оператор квадрата поперечного импульса pˆ2 может быть получен из

оператора Лапласа просто отбрасыванием первого слагаемого, содержащего производные по радиальной координате r. Действительно, радиальные произодные волновой функции

должны были бы соответстовать радиальному импульсу, который не входит в определе-

215

уже хорошо нам знакомые нулевые колебания вакуума. Суть же этого эффекта заключается в том, что проводящие пластины должны будут погасить те нулевые колебания, для которых на поверхности пластин электрическое поле, параллельное пластинам, было бы не равно нулю. В противном случае в пластине наводились бы электрические токи, которые невозможны, если проводимость достаточно велика. Поэтому, несмотря на то, что сами энергии нулевых колебаний без пластин и при их наличии бесконечны, их разность, тем не менее, оказывается конечной величиной, причем зависящей от расстояния между пластинами.

Подобное притяжение пластин было предсказано голландским физиком Х. Казимиром (1909-2000) в 1948 году, а позднее обнаружено и экспериментально. Мы выбрали этот пример из ряда других явлений, подтвердиших существование нулевых колебаний из-за наглядности и относительной простоты: как мы сейчас покажем, для его количественного описания нужно знать, фактически, лишь выражение (71) для плотности состояний. При этом для нас также будет очень важно показать, что буквенное выражение для силы Казимира может быть получено ”на пальцах”.

Итак, рассмотрим две параллельные пластины площадью S и расстоянием между ними d и подсчитаем энергию нулевых колебаний E, заключенных в объеме V = Sd

между ними. Если бы пластин не было, то такую энергию следовало бы записать как

Это выражение есть просто число состояний (которое, в свою очередь, есть плотность состояний n(3) = 1/(2π)3, умноженная на объем физического пространства Sd и объем в простанстве волновых векторов) умноженная на энергию нулевого уровня hω/¯ 2. Инте-

грирование, естественно, распространяется и на последний множитель, который следует

q

записать как hc¯ kx2 + ky2 + kz2/2. Двойка же связана с тем, что электромагниитные волны

имеют две различные поляризации.

В присутстии же проводящих пластин первая скобка, соответствующая компоненте волновых векторов, параллельных пластинам, меняться не будет. Что же касается компонент волновых векторов kz , ортогональных пластинам, то здесь вместо интегрирования

216

следует провести лишь суммирование по значениям kz = nπ/L, n = 1, 2, . . ., для которых амплитуда электрического поля будет равна нулю как на нижней (z = 0), так и на верхней (z = L) поверхности. Кроме того, для kz = 0, т.е. для волны, у которой волновой вектор

параллелен пластинам, необходимо оставить лишь одну поляризацию, а именно ту, для которой электрическое поле волны перпендикулярно поверхности. В итоге, получаем

будет конечной величиной. Соответственно, сила, действующая между пластинами (ко-

Покажем теперь, как выражение (350), естественно без численного коэффициента, может быть получено ”на пальцах”. Для этого запишем полную энергию нулевых колебаний в объеме V = dS и в диапазоне волновых векторов от нуля до некоторого значения

в виде произведения средней энергии нулевого колебния (для которой мы выберем просто значение hk¯ maxc) на полное число волн N . Полное же число волн, как мы помним, можно оценить как произведение плотности состояний n(3) = 1/(2π)3 на физический объем V и на объем в пространстве волновых векторов kmax3 . В итоге, опуская все численные коэффициенты (а, значит, и положив n(3) 1), получаем,

Понятно, что как оценка по порядку величины выражение (352) будет справедливо как для свободного вакуума, так и для вакуума, ограниченного проводящими пластинами. Однако (внимание!) отличие этих энергий должно быть заметно лишь при волновых векторах kmax, сравнимых с 1/d. Действительно, при k 1/d длина волны нулевых ко-

лебаний будет уже существенно меньше расстояния между пластинами, и поэтому естественно продположить, что сами пластины никакого ограничения на такие волны оказать

218

нейтронных звезд (или нейтронной звезды и черной дыры, или даже двух черных дыр) на последнем этапе эволюции двойной системы. Сейчас известно уже несколько систем, содержащих две нейтронные звезды, чье время жизни за счет излучения гравитационных волн значительно меньше возраста жизни Вселенной. Поэтому нет сомнения, что процессы слияния двух компактных звезд действительно имеют место. Правда, такие слияния все же чрезвычайно редки, и поэтому есть надежда обнаружить их лишь в очень далеких галактиках.

Мы начнем наши вычисления с формулы Эйнштейна для мощности гравитационного излучения двойной системы, состоящей из звезд одинаковой массы M и расстоянием a

между ними. Поскольку нашей задачей будет опять лишь оценка по порядку величины, мы сразу приведем здесь соответствующее выражение без численного коэффициента и поправок на эллиптичность орбиты

Интересующихся же деталями расчета мы отсылаем к Приложению 5 в уже упомянутом учебнике ”Гравитация и астрофизика”, где показано, как эта оценка может быть получена на уровне школьной физики.

Как мы видим, мощность излучения гравитационных волн очень сильно зависит от расстояния a между компонентами двойной системы. Поэтому основное излучение будет происходить лишь на самом последнем этапе ее эволюции, когда величина a будет уже

близка к радиусу самих нейтронных звезд. Поскольку, как было показано в разделе 6.2.3, радиусы нейтронных звезд ненамного превышают радиус черной дыры соответствующей массы rg = 2GM/c2 (и поэтому скорость вращения будет порядка скорости света), то

продолжительность импульса можно оценить как

Иными словами, гравитационный сигнал должен иметь форму короткого импульса, длительность которого будет не сильно отличаться от периода вращения двух практически