5.3.2. Метод замены переменной

При нахождении интегралов вводится новая переменная, с помощью которой значительно упрощаются подынтегральные функции и интегралы принимают табличный вид. Определив интеграл по новой переменной, обратной подстановкой возвращаются к исходной переменной.

Пример 3.

Найти интеграл .

Решение.

Интеграл является нетабличным. Выполним замену переменной: .Найдем дифференциалы от левой и правой частей равенства и выразим из негоxdx.

Таким образом, подынтегральная функция по переменной у имеет упрощенный вид, а интеграл сводится к табличному интегралу:

Возвращаясь к переменной х, имеем:

Следовательно: .

5.4. Определенный интеграл и его свойства

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b].

Разобьем [a; b] на n равных частей точками: a = x₀ < x₁ < x₂ <…< x_n–1 < x_n = b.

На каждом элементарном отрезке [x_i; x_{i + 1}] выберем произвольную точку _i и обозначим .

Тогда называется интегральной суммой для функцииf(x) на отрезке [a; b].

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы функции при , стремящемся к нулю.

Обозначение:

Основные свойства:

4. Если a < c < b, то

5.5. Методы вычисления определенного интеграла

1. Формула Ньютона — Лейбница:

Пример 4.

Вычислить интеграл

Решение:

Согласно свойствам 1, 2, интеграл запишем в виде:

Применив формулу Ньютона — Лейбница, вычислим интегралы:

Следовательно, окончательно имеем

.

2. Метод замены переменной.

Пример 5.

Вычислить интеграл

Решение:

При введении новой переменной у = х² – 3 и определении подынтегральной функции по переменной у пределы интегрирования также будут изменяться.

Найдем пределы интегрирования по переменной у:

–нижний предел;

–верхний предел;

следовательно,

Применив формулу Ньютона — Лейбница, вычислим последний интеграл:

И, значит, .

Пример 6.

Вычислить .

Решение:

Введем переменную . Дифференцируя обе части равенства и выражаяx²dx, будем иметь:

Найдем пределы интегрирования по переменной у:

Таким образом,

.

Задания для контрольной работы

Вариант № 1

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(3; –1; 2), B(1; 1; 1), C(–5; 3; 1).

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) в)б)г)

IV. Дифференциальное исчисление

4. Найти производные функций

1. 

2. 

3. 

4. 

V. Интегральное исчисление

5. Вычислить неопределенный интеграл:

1. ; 2.;

Вариант № 2

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

a) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 8; –3), B(3; 2; 6), C(2; 6; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) в)б)г)

IV. Дифференциальное исчисление

5. Найти производные функций

V. Интегральное исчисление

5. Вычислить неопределенный интеграл:

. ; 2).;

Вариант № 3

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

a) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(4; –2; 5), B(2; 2; 1), C(3; 6; 1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) в)б)г)

IV. Дифференциальное исчисление

4. Найти производные функций

1. 

2. 

3. 

4. 

V. Интегральное исчисление

5. Вычислить неопределенный интеграл:

. ; б).;

ВАРИАНт № 4

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(–3; 7; 1), B(1; 5; 3), C(2; –7; 3)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) в)б)г)

IV. Дифференциальное исчисление

4. Найти производные функций

1. 

2. сtg

3. 

4. 

5. 

V. Интегральное исчисление

5. Вычислить неопределенный интеграл:

; б) ;

Вариант № 5

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(2; 3; –6), B(5; –1; 6), C(4; 1; 3)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) в)

б) г)

IV. Дифференциальное исчисление

4. Найти производные функций

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

V. Интегральное исчисление

5 Вычислить неопределенный интеграл:

А); б);

Вариант № 6

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(–1; 5; 4), B(5; –4; 2), C(1; 3; 3)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) в)

б) г)

IV. Дифференциальное исчисление

4. Найти производные функций

1. 

2. 

3. 

4. 

V. Интегральное исчисление

5. Вычислить неопределенный интеграл:

А); 2.;

Вариант № 7

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(5; –2; 3), B(4; 6; –1), C(1; 2; 1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) в)б)г)

IV. Дифференциальное исчисление

4. Найти производные функций

1

6. 

7. 

8. 

V. Интегральное исчисление

5. Вычислить неопределенный интеграл:

А). ; б).;

Вариант № 8

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(8; –3; –1), B(4; –1; 3), C(–1; 3; 1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) в)б)г)

IV. Дифференциальное исчисление

5. Найти производные функций

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

V. Интегральное исчисление

5. Вычислить неопределенный интеграл:

А); б);

Вариант № 9

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(–6; 1; 4), B(8; 3; –1), C(2; 5; 3)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) в)б)г)

IV. Дифференциальное исчисление

4. Найти производные функций

9. 

10. 

11. 

12. 

V. Интегральное исчисление

5. Вычислить неопределенный интеграл:

1. ; 2.;

Вариант № 10

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(–2; –4; 1), B(4; 5; 3), C(1; 8; 5)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) в)б)г)

IV. Дифференциальное исчисление

4. Найти производные функций

1

13. 

14. 

15. 

V. Интегральное исчисление

5. Вычислить неопределенный интеграл:

. ; 14.;

Вариант № 12

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

А) Б)

в) г)

IV. Дифференциальное исчисление

4. Найдите производную функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

а) b)

вариант № 11

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а ) б)

Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

III. Теория пределов функции

А) ;6)

г) в)

IV. Дифференциальное исчисление

4. Найдите производную функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

а) b)

ВАРиант № 13

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

А) ; в)

Б) г)

IV. Дифференциальное исчисление

4. Найдите производную функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

а) b)

Вариант № 14

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 6; –3), B(3; 4; 6), C(2; 8; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) б)

в) 2)

IV. Дифференциальное исчисление

Найдите производную функции:

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

а) b)

Вариант № 15

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

А) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 4; –3), B(3; 6; 6), C(2; 4; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) б)

в) г)

IV. Дифференциальное исчисление

Найдите производную функции:

1

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

а) b)

Вариант № 16

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 2; –3), B(3; 4; 6), C(2; 2; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) б)

г) в)

IV. Дифференциальное исчисление

Найдите производную функции:

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

a)b)

Вариант №17

1 Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а)б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 8; –3), B(3; 2; 6), C(2; 6; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) 6)

в) г)

IV. Дифференциальное исчисление

Найдите производную функции:

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

a)b)

Вариант № 18

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 8; –3), B(3; 2; 6), C(2; 6; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) б)

в) г)

IV. Дифференциальное исчисление

Найдите производную функции:

16. 

17. 

18. 

19. 

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

. a)b)

ВАриант № 19

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 8; –3), B(3; 2; 6), C(2; 6; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) б)

в) г)

IV. Дифференциальное исчисление

Найдите производную функции:

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

. а) b)

ВАРИАНт № 20

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 8; –3), B(3; 2; 6), C(2; 6; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) 6)

в) г)

IV. Дифференциальное исчисление

Найдите производную функции:

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

a)b)

ВАриант № 21

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

А б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 8; –3), B(3; 2; 6), C(2; 6; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) б)

в) 4) г)

IV. Дифференциальное исчисление

Найдите производную функции:

1.

2.

3.

4.

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

a)b)

Вариант № 22

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 8; –3), B(3; 2; 6), C(2; 6; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) б)

в) г)

IV. Дифференциальное исчисление

Найдите производную функции:

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

a)b)

Вариант № 23

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 8; –3), B(3; 2; 6), C(2; 6; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) б)

в) г)

IV. Дифференциальное исчисление

Найдите производную функции:

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

. а) b)

ВАриант № 24

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

А))б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 8; –3), B(3; 2; 6), C(2; 6; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) б)

в) г)

IV. Дифференциальное исчисление

Найдите производную функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

. а) b)

Вариант № 25

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 8; –3), B(3; 2; 6), C(2; 6; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) б)

в) г)

IV. Дифференциальное исчисление

Найдите производную функции:

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

а) b)

вариант № 26

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б )

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 8; –3), B(3; 2; 6), C(2; 6; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) б) в) г)

IV. Дифференциальное исчисление

4.Найдите производную функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

а) b)

Вариант № 27

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б )

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 8; –3), B(3; 2; 6), C(2; 6; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) б)

в) г)

IV. Дифференциальное исчисление

Найдите производную функции:

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

а) b)

Вариант № 28

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б )

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 8; –3), B(3; 2; 6), C(2; 6; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) б)

в) г)4)

IV. Дифференциальное исчисление

Найдите производную функции:

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

. а) b)

Вариант № 29

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 8; –3), B(3; 2; 6), C(2; 6; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) б)

в) г)

IV. Дифференциальное исчисление

Найдите производную функции:

1.

2.

3.

4.

5.

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

. а) b)

Вариант № 30

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 8; –3), B(3; 2; 6), C(2; 6; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) б)

в) г)

IV. Дифференциальное исчисление

Найдите производную функции:

1.

2.

3.

4.

V. Интегральное исчисление

5.Вычислить неопределенный интеграл

а) b)