- •Образец заполнения титульного листа домашней контрольной работы
- •Методические рекомендации по изучению курса
- •Общие методические указания по выполнению контрольной работы
- •Содержание тем контрольных работ
- •Требования к выполнению и оформлению контрольной работы
- •Вопросы для контроля теоретических знаний
- •1.2. Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •1.3. Решение систем линейных уравнений методом определителей (метод Крамера)
- •II. Аналитическая геометрия
- •2.1. Координаты вектора в пространстве. Действия над векторами в координатной форме
- •2.2. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами
- •2.3. Векторное произведение векторов
- •2.4. Общее уравнение плоскости
- •2.5. Общее уравнение прямой в пространстве
- •III. Введение в теорию пределов функций
- •Техника вычисления пределов
- •IV. Дифференциальное исчисление
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные высших порядков функции
- •V. Интегральное исчисление
- •5.3.2. Метод замены переменной
- •5.4. Определенный интеграл и его свойства
- •5.5. Методы вычисления определенного интеграла
- •Задания для контрольной работы
2.3. Векторное произведение векторов
Определение: векторным произведением двух векторов иназывается вектор, для которого выполняются следующие условия:
Направление определяется правилом правого буравчика.
Обозначение: .
Свойства:
Допустим:
.
Тогда:
Доказательство:
Решаем систему по методу Крамера:
Таким образом:
, и.
Следствия:
1.
2. .
3.(следствие 2).
4. (следствие 2).
5. .
6. (следствие 2).
7. .
8. .
2.4. Общее уравнение плоскости
нормальный вектор к плоскости;
;
–уравнение плоскости общего вида.
Допустим:
или – задание плоскости через определитель третьего порядка.
Особые случаи:
2.5. Общее уравнение прямой в пространстве
–уравнение прямой l, проходящей через данные точки М1(x1, y1, z1) и М2(x2, y2, z2).
2. –уравнение прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями:
Пример 1.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(–1;–2;0) и М2(1;1;2) и перпендикулярной к плоскости : x + 2y + 2z – 4 = 0.
Решение.
Пусть M(x, y, z) – произвольная точка искомой плоскости.
Составим уравнение плоскости, содержащей векторы:
Раскроем определитель третьего порядка:
Ответ: – уравнение плоскости.
Пример 2.
Написать уравнение прямой l, перпендикулярной плоскости :
, проходящей через точку .
|
1. – нормальный вектор к плоскости.
2. , где точкаМ(x, y, z) лежит на искомой прямой l.
Тогда
– уравнение прямой l.
Ответ:.
III. Введение в теорию пределов функций
Определение: число А называется пределом функции y = f(x) при , если для любого числа, существуеттакое, что привыполняется неравенство.
Обозначение: .
Основные свойства пределов:
Функция f(x) называется непрерывной в данной точке a, если выполняется равенство:
Замечательные пределы:
1. – первый замечательный предел.
2. – второй замечательный предел.
Техника вычисления пределов
Пример 1.
Найти .
Решение.
Функция – непрерывная, графиком ее является парабола. Следовательно, заменяя ее аргумент предельным значением, найдем значение предела:
.
Ответ: –8.
Пример 2.
Найти
При непосредственном нахождении предела и числитель и знаменатель обращаются в нуль, таким образом, получается неопределенность вида.
Чтобы раскрыть неопределенность , разложим числитель на множители:
,
и сократим дробь на выражение (х – 2), предел которого при равен 0.
Тогда
Ответ: 7.
Пример 3.
Найти .
Решение:
Непосредственно подстановкой убеждаемся, что выражение обращается в неопределенность вида .
Разложим числитель и знаменатель на множители:
и сократим дробь на выражение (х + 1). Таким образом
.
Ответ: .
Пример 4.
Найти: .
Решение:
При непосредственно подстановкой имеем неопределенность вида.
Чтобы раскрыть неопределенность, разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень переменной – . Тогда
Поскольку , то.
Ответ: 2.
Пример 5.
Найти:
Решение.
Непосредственно подстановкой имеем неопределенность . Раскроем неопределенность, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное к знаменателю дроби:
. Тогда
Ответ: 4.
Пример 6.
Найти: .
Решение:
Найдем пределы, используя первый замечательный предел
Таким образом: .
Замечание:
, так как если , то.
Значит .
Ответ:
Пример 7.
Найти: .
Решение:
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, к виду , и используем второй замечательный предел.
Если , то. Значит:
Ответ: .
Рассмотрим теперь методику раскрытия неопределенностей вида 1в точке, как всегда на конкретных примерах.
ПРИМЕР 8.
Вычислить предел: 9. Р = = (выделим в скобках единицу) == (в показателе выделим выражение обратное выражению 2(2 – х), получим).
Аналогично, но без комментариев.
ПРИМЕР 9
Теперь попроще и потому покороче
ПРИМЕР 10.
ПРИМЕР 11
ПРИМЕР 12
а) [неопределенность
б) [неопределенность]
в)
[неопределенность ]
ПРИМЕР 13
а вот здесь получаем неопределенность; перейдем к неопределенности, для этого
ПРИМЕР 14
имеем, но вторая форма записи второго замечательного предела