- •Образец заполнения титульного листа домашней контрольной работы
- •Методические рекомендации по изучению курса
- •Общие методические указания по выполнению контрольной работы
- •Содержание тем контрольных работ
- •Требования к выполнению и оформлению контрольной работы
- •Вопросы для контроля теоретических знаний
- •1.2. Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •1.3. Решение систем линейных уравнений методом определителей (метод Крамера)
- •II. Аналитическая геометрия
- •2.1. Координаты вектора в пространстве. Действия над векторами в координатной форме
- •2.2. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами
- •2.3. Векторное произведение векторов
- •2.4. Общее уравнение плоскости
- •2.5. Общее уравнение прямой в пространстве
- •III. Введение в теорию пределов функций
- •Техника вычисления пределов
- •IV. Дифференциальное исчисление
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные высших порядков функции
- •V. Интегральное исчисление
- •5.3.2. Метод замены переменной
- •5.4. Определенный интеграл и его свойства
- •5.5. Методы вычисления определенного интеграла
- •Задания для контрольной работы
1.2. Разложение определителя по элементам строки или столбца
, |
aij – общий элемент определителя, где i – номер строки, j – номер столбца. |
Минором элемента aij определителя D называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиваниемстроки и столбца, содержащих взятый элемент.
Обозначение: Mij.
Пример.
–минор элемента а12.
–минор элемента а33.
Алгебраическим дополнением элемента аij называется минор этого элемента, умноженный на коэффициент (–1)i+j.
Обозначение: Аij = (–1)i+j Mij.
Пример.
.
.
Теорема:
Если , то
, где i – номер строки,
или
, где j – номер столбца.
Пример. Вычислить определитель разложением по элементам:
1) второй строки; 2) третьего столбца.
Решение:
1) i =2, .
.
.
.
.
2) i = 3, .
.
.
.
.
Ответ: .
1.3. Решение систем линейных уравнений методом определителей (метод Крамера)
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: x1, x2, x3:
(коэффициенты aij и свободные члены bi считаются заданными).
Решение: составим определители :
, ,,,
где называют определителем системы, а определители xi получены из основного определителя заменой свободными членами bi элементов соответствующего столбца.
Особые случаи:
1) если 0, то система имеет единственное решение;
2) если = 0, xi 0, то система несовместна;
3) если = xi = 0, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо она решений не имеет.
Пример.
Решить систему линейных уравнений:
Решение: составим определители , x, y, z и найдем их значения.
( 0, следовательно, система имеет единственное решение).
.
.
.
Найдем решение системы:
Ответ: (3; 2; –1).
II. Аналитическая геометрия
2.1. Координаты вектора в пространстве. Действия над векторами в координатной форме
Пусть M(x; у; z) – координаты точки в пространстве.
Выберем: – единичные векторы на соответствующих осях координат:
Всякий вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации единичных векторов:
,
где – координаты вектора в пространстве.
Длина вектора вычисляется по формуле.
Рассмотрим две точки пространства: и
Найдем координаты вектора :.
Таким образом, – координаты вектора
Длина вектора определяется по формуле.
Справедливо следующее утверждение:
пусть: итогда
.
Пример 1.
Найти расстояние между точками А и В, если известно, что А(–2;3;1) и В(2;1;5).
Решение:
1. Найдем координаты вектора :
2. Вычислим длину вектора :
Ответ: 6.
Пример 2.
Найти длину вектора если.
Решение:
1. Обозначим:
2. Найдем координаты вектора
3. Найдем координаты вектора
4. Вычислим длину вектора
Ответ: 3.
2.2. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами
Скалярным произведением двух векторов иназывается произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение:
Особые случаи:
Если векторы изаданы своими координатами:ито скалярное произведение вычисляется по формуле:
Угол между векторами выражается следующим образом:
В координатной форме:
Пример 3.
Найти угол между векторами и, еслии
Решение:
Обозначим: .
Ответ: