2.6.1. Амплитудная модуляция

При амплитудной модуляции (АМ) прямо пропорционально амплитуде информационного сигнала s(t) изменяется амплитуда несущего колебания , где – постоянная амплитуда высокочастотного колебания, – коэффициент пропорциональности:

,

где – постоянная угловая частота, – постоянная начальная фаза.

В общем случае s(t) носит случайный характер, но для выявления основных характеристик AM-колебаний будем полагать, что s(t) является детерминированной функцией и представляет собой чисто гармоническое низкочастотное колебание . Такой одночастотный сигнал называется тональным, его спектр изображен на рис. 2.17, а.

Пусть , тогда аналитическое выражение АМ-сигнала имеет вид

Здесь ; , M – коэффициент, или глубина, модуляции.

Для неискаженной передачи: .

Спектр АМ-колебания легко определить, если записанное выражение, используя тригонометрические формулы, разложить на гармонические составляющие:

.

На рис. 2.17, б представлен спектр АМ-колебания при модуляции гармоническим колебанием s(t). Он состоит из трех составляющих. Первое слагаемое представляет собой исходное немодулированное колебание (несущую). Второе и третье слагаемые называются соответственно верхней и нижней боковыми составляющими. Если модуляция осуществляется сложным периодическим сигналом, спектр которого состоит из нескольких составляющих (рис. 2.18, а), то в спектре АМ-сигнала появляются верхняя и нижняя боковые полосы (рис. 2.18, б). Ширина спектра АМ-колебания равна удвоенной частоте от максимальной частоты модулирующего сигнала, т.е. Δω = 2Ω_max.

а

а

б

б

A_n

A_n

A_n

A_n

A₀M 2

A₀M 2

A₀

₀

₀–

₀+

₀

 = 2_max









_max

s(t)

Рис. 2.17 Рис. 2.18

Отметим, что обе боковые полосы несут одинаковую информацию о модулирующем сигнале. Поэтому в технике связи часто применяют сигналы с одной боковой полосой (ОБП-сигналы).

2.6.2. Угловая модуляция

При частотной и фазовой модуляции по закону передаваемого сообщения изменяется аргумент, т.е. полная фаза :

.

При фазовой модуляции (ФМ) начальная фаза высокочастотного сигнала изменяется прямо пропорционально величине модулирующего сигнала s(t), т.е. , где K_ФМ – коэффициент фазовой модуляции, φ₀ – начальная фаза.

Для тональной ФМ аналитическое выражение имеет вид

,

где – индекс фазовой модуляции.

При частотной модуляции (ЧМ) мгновенная частота изменяется прямо пропорционально амплитуде модулирующего сигнала , где K_ЧМ – коэффициент пропорциональности.

Для случая тональной модуляции мгновенная частота изменяется следующим образом:

,

где = K_ЧМ S_m – девиация частоты (максимальное отклонение частоты от исходного значения ω₀), а аналитическое выражение ЧМ-сигнала имеет вид

,

где – индекс частотной модуляции.

Оба вида модуляции (при тональной модуляции) могут быть выражены одинаково

.

Временные диаграммы ЧМ и ФМ-сигналов не различаются.

Рассмотрим спектр высокочастотного колебания при тональной угловой модуляции (рис. 2.19):

.

При m<<1

Тогда .

2.7. Мощности сигнала

При рассмотрении энергетических процессов в электрических цепях пользуются следующими понятиями о мощности сигнала.

1. р(t) = dW(t)/dt – мгновенная мощность – скорость изменения энергии W, потребляемой участком цепи. Для электрических цепей она рассчитывается по выражению:

p(t) = u(t)i(t).

Если р > 0, участок электрической цепи поглощает энергию, энергия возрастает, такой участок называется пассивным; если р < 0, участок электрической цепи выделяет (создает) энергию, отдавая ее во внешнюю цепь, такой участок называется активным.

2. Энергия – мощность сигнала за какое-то время

===.

3. Средняя мощность Р_ср = W/t₁ – t₂ (энергия в единицу времени).

Для периодического сигнала:

P_ср =.

4. Для удобства расчета в цепях переменного тока вводят понятие о действующих значениях напряжения или тока:

; .

Действующее значение переменного во времени напряжения и тока численно равно такому значению постоянного во времени напряжения или тока, которое выделяет мощность, равную средней мощности переменного сигнала.

В гармонических цепях действующие и амплитудные значения связаны следующим образом (рис. 2.20):

; .

5. Мощности цепи гармонического тока.

Пусть через участок цепи (рис. 2.21) протекает гармонический ток i(t) = I_m cos(₀t+_i). При этом на нем возникает напряжение u(t) = U_m cos(₀+_u).

i(t)

U(t)

U

U_m

t

Рис. 2.20 Рис. 2.21

Тогда мгновенная мощность определяется выражением

p(t) = i(t) U(t) = 1/2U_mI_m cos(_u – _i) + 1/2U_mI_mcos(2₀t + _u – _i).

Она состоит из двух слагаемых. Первое зависит от времени и изменяется с частотой в 2 раза выше, чем ток или напряжение на этом участке цепи, а второе от времени не зависит, его называют средней мощностью.

В цепях гармонического тока пользуются следующими мощностями:

1. Среднее значение мгновенной мощности (активная мощность) Р_A:

Р_А = UI cos(_u – _i);

φ = _u – _i – фазовый сдвиг между током и напряжением.

р_А максимальна, когда ток и напряжение находятся в одной фазе φ = 0, т.е. _u = _i.

Активная мощность выделяется (поглощается) на участке цепи, совершая полезную работу, превращаясь в тепловую или механическую форму энергии.

Активная мощность измеряется в ваттах (Вт).

2. Реактивная мощность

P_Q = UI sin(_u – _i).

P_Q характеризует энергию, которая накапливается реактивными элементами цепи и возвращается затем в цепь. P_Q иногда называют «кажущаяся» мощность. P_Q не потребляется участком цепи. P_Q не выполняет никакой работы.

Реактивная мощность измеряется в варах (Вар – вольт-ампер реактивный).

3. Полная мощность

P_s =.

Величину cos  = P_A/P_s называют коэффициентом мощности. Он показывает, какая доля от P_s совершает полезную работу, т.е. является активной мощностью (P_A). Фактически это кпд участка цепи, например электродвигателя.

Полная мощность измеряется в ВА (вольт-ампер).

2.8. Распределение мощности в спектре периодического сигнала

Пусть s(t) – ток, напряжение (произвольная периодическая функция времени).

Разложим в ряд .

Вычислим среднюю мощность за период при R_н =1Ом:

.

Возведем в квадрат, получим слагаемые следующего вида:

1) ; 2) ; ; 3) .

После интегрирования за период получим Т, и . Все интегралы от гармонических функций за период обратятся в ноль.

Отсюда получим, что средняя мощность периодического сигнала равна

.

Полная мощность является суммой средних мощностей, выделяемых по отдельности постоянной составляющей и гармониками периодического сигнала.

Контрольные вопросы

1. Записать комплексную амплитуду гармонического напряжения u(t) = 311cos(2π100­–π/4).

2. Записать выражение для гармонического напряжения с частотой 150 Гц, комплексная амплитуда которого u = 100e^–jπ/4.

3. Какой сигнал называется дискретным?

4. Какие сигналы способны (без преобразований) нести полезную информацию?

5. Какой характер имеет спектр периодического сигнала?

6. Что происходит со спектром сигнала по оси частот при изменении масштаба сигнала по оси времени в  > 1 раз?

7. Что понимают под шириной спектра сигнала?

8. Какие составляющие сигнала ослабляются при его интегрировании и дифференцировании?

9. Что собой представляют действующие значения переменного тока либо напряжения?

10. Чем отличается амплитудная модуляция от угловой?

11. Чем различаются спектры однотональной амплитудной и фазовой модуляции?

29