Открытие Мандельброта: бесконечные острова.

«Природа сыграла злую шутку с математиками.

Учёным XIX века, возможно, не хватало воображения,

зато у природы его было достаточно. Те патологические

структуры, которые были изобретены математиками,

желавшими оторваться от свойственного XIX веку

натурализма, оказались основой множества хорошо знакомых, повсюду нас окружающих объектов».

Из статьи Ф. Дайсона «Анализ неупорядоченных структур», опубликованной в журнале "Science" в мае 1978 года.

Одно из самых ранних открытий ученого — бесконечная длина береговой линии любого острова. Именно так. Но как же так? Разве это возможно? Давайте посмотрим на наши измерительные приборы.

Оказывается, если наша линейка длиной в 100 м — вокруг острова поместятся 19 штук,

и длина его береговой линии будет 1900 м. Если наша линейка длиной в 10 м, она сможет промерить более мелкие впадины и бухты — на береговой линии поместятся 242 штуки,

а длина береговой линии составит 2420 м. Если мы возьмем линейку в 1 мм, то сможем промерить каждый камушек — длина береговой линии при таком измерении будет

5423 М — втрое больше первой величины.

Какая же длина правильная, спросим мы? «Никакая, длина береговой линии бесконечна», — усмехнется Бенуа. Чем меньше будет наша линейка, тем больше будет длина. При линейке, стремящейся к нулю, длина линии будет бесконечной для любого острова, хоть для Цейлона, хоть для крошечного острова Сипадан.

Мандельброт задался вопросом, как сравнить два острова, если очевидно, что они разные. И ввел новую величину — фрактальную размерность (на самом деле это переосмысленная им размерность Хаусдорфа).

Фрактальная размерность — мера детализации, изломанности, неровности фрактального объекта. Размерность у фрактального объекта всегда больше топологической (обычной) размерности и может быть (чаще всего и является) дробной.

О простом и сложном в природе.

Почему папоротник проще сферы.

Еще один важный сдвиг происходит в наших представлениях о том, что такое простые вещи, а что такое сложные.

В нашем повседневном представлении самыми простыми кажутся вещи, наиболее просто описываемые евклидовой геометрией. Стол — это просто. Бетонный куб — еще проще. Стальной шар кажется самой воплощенной простотой (есть даже анекдот про «один сломал, другой потерял», в массовом сознании металлический шар — неделимый предмет).

Но тогда зададимся вопросом, почему большинство простых вещей сделаны человеком? Почему деревья, рыбы, грибы или легкие человека — не правильные сферы или кубы, ведь природа, идеальный оптимизатор, должна была найти максимально простую форму.

На самом деле формы живой природы действительно довольно простые, надо только взглянуть на них совсем с другой стороны — развернуться на 180°.

Чтобы совсем запутаться и забыть о наших привычных представлениях о простом и сложном, давайте рассмотрим самую известную из фрактальных форм — множество Мандельброта. Оно задается крошечной формулой:

Но вот в чем подвох: если мы проделаем эту операцию бесконечное количество раз — мы получим бесконечно сложное множество. То есть мы получим объект, части которого можно приближать и приближать, в нем будут все новые и новые формы. В каждой точке этого объекта содержится целый мир причудливых форм, и в каждой точке этих миров те же бесконечности.

Как с этим разобраться? Формула проще некуда (удовлетворяет наше евклидово представление о простоте), а сам объект — бесконечно сложный. Мандельброт предлагает взглянуть на это скорее со стороны алгоритма, чем со стороны конечного объекта (ведь его и нет как такового во фрактале, он бесконечно строится), — описывать не сложность объекта, а сложность процесса построения.

И тут оказывается, что причудливые природные формы крайне просты. Снова возьмем папоротник — он растет из споры, в каждой клетке которой должно быть записано, какой формы должно быть готовое растение.

Представьте себе, какой длинной будет формула, описывающая финальную форму папоротника со всеми его изломами и разветвлениями — со стороны формы папоротник очень сложен.

Но для его построения не обязательно знать, что должно получиться — достаточно знать простой алгоритм ветвления.

И только это простое правило и записать, с двумя маркерами — сейчас включить, сейчас выключить.

Дело даже не в сложности описания. Форму финального растения в принципе нельзя описать — она подвержена вариации, мы никогда не знаем, каким в точности вырастет наш папоротник, подход со стороны алгоритмов — единственно возможный. Со стороны описания алгоритма построения оказалось возможным изучать, описывать и моделировать (!) формы гор, бронхов, кровеносной системы и излучин рек. Формы, к которым раньше было даже не подступиться, благодаря Мандельброту оказались вполне понимаемыми.

Для прояснения ситуации можно провести аналогию с кулинарным рецептом. Представьте, что в кулинарной книге перечислено все, что должно быть в супе: 234 кусочка картошки (и размер каждого из них), 134 кусочка лука (и размеры), 23 кусочка мяса. Вот так же нам бы пришлось описывать финальную форму папоротника. Вместо этого мы описываем алгоритм — порежьте, нарубите, покрошите. И у нас все равно получается суп, пусть и с вариациями — в одной кастрюле 234 куска, в другой — 219 кусков картошки. Высчитывая алгоритм ветвления папоротника, можно получить слегка разные, но все же папоротники.

Тому, как с помощью цепей обратных связей и градиентов концентрации создаются законы развития жизни, посвящена книга прекрасного русского биолога Александра Маркова «Рождение сложности».

В пример понимания простоты/сложности с точки зрения алгоритмов Мандельброт приводит фрактальную кривую Коха. При том что она выглядит сложной, алгоритм ее построения, как пишет Мандельброт, на самом деле проще, чем алгоритм построения окружности. Со стороны алгоритмов (с той стороны, с которой на это дело смотрит природа вокруг нас) эта кривая — более простая форма.