Выполнила студентка 1 курса

факультета агротехнологий и лесного хозяйства

направления Ландшафтная архитектура

Сафина Лилия Данисовна

Уфа 2016

Содержание:

1. Введение.

2. Понятия фрактала и фрактальной геометрии.

3. Открытие Мандельброта: бесконечные острова.

4. О простом и сложном в природе. Почему папоротник проще сферы.

5. Фракталы как воплощение принципа гармонии в природе.

6. Практическое использование фрактальной геометрии.

7. Список использованной литературы.

Введение.

"Геометрию часто называют "холодной" и "сухой".

Одна из причин этого состоит в ее неспособности

описать форму облака, горы, береговой линии или

дерева. Облака - не сферы, горы - не конусы,

береговые линии - не окружности, древесная кора не

гладкая, молния распространяется не по прямой.

Многие природные объекты настолько иррегулярны

и фрагментированы, что по сравнению со стандартной

геометрией Евклида природа обладает не просто большей

сложностью, а сложностью совершенно иного уровня."

Бенуа Мандельброт.

При слове «геометрия» у нас из глубин памяти всплывают цилиндры, треугольники, гипотенузы, биссектрисы углов, «найдите площадь фигуры», грифельные доски и ломающийся мел. Проблема в том, что все, приходящее на ум, — это язык для описания крайне узкого набора явлений окружающего мира. Дома, может быть, иногда и близки к параллелепипеду, но деревья — не цилиндры, горы — не конусы, а форму облака непонятно с чем и сравнить.

Если мы приглядимся внимательно, то в окружающем нас мире эта школьная геометрия (ее называют евклидовой) описывает не столь уж и многое. И в большинстве своем описывает формы, созданные человеком. Но как быть со всем остальным миром, как можно описать форму дерева или очертания острова, форму комка земли или ветвящуюся структуру бронхов?

Этим вопросом ученые задавались давно, но, поскольку не находили убедительного ответа, записывали эти формы в «неупорядоченные», «монструозные», «неисследуемые».

Понятия фрактала и фрактальной геометрии.

Глобальный перелом в области исследований окружающего мира с математической точки зрения произошел в 1960–1970-х годах, когда французский математик Бенуа Мандельброт придумал и развил свою теорию фракталов. Это была новая, фрактальная геометрия, взявшая за объект исследования все то неровное, изломанное и шершавое, что нас окружает (то есть почти все). И Мандельброт нашел в сложных формах природы свой удивительный порядок.

Бенуа Мандельброт (1924–2010) -- французский математик, основатель фрактальной геометрии. Во время войны уехал из Франции в Америку и остался там. Долгое время не признавался широкими научными кругами, но в конце 1970-х годов обрел признание и славу одного из самых оригинальных математиков. В 1977 году выпустил книгу «Фракталы: форма, случай и размерность», в 1982 году вышло переиздание — культовая книга «Фрактальная геометрия природы». В течение 35 лет работал в Исследовательском центре имени Томаса Дж. Уотсона корпорации IBM в Йорктаун-Хейтсе (шт. Нью-Йорк).

Впервые о том, что не стоит записывать в неупорядоченное то, что мы не можем описать евклидовой геометрией, высказался еще Ричард Бентли, британский ученый XVII века: «Вся красота относительна... Мы не должны думать, что берега океана искажены и деформированы, потому что они не похожи на ровную стену; и мы не должны думать, что горы имеют неправильную форму, потому что они не являются правильными пирамидами или конусами; и мы не должны думать, что звезды неумело расположены на небе, раз они находятся на разном расстоянии от нас. Это не природные неточности — они кажутся такими только по нашему капризу».

Бенуа Мандельброт придумал и впервые употребил термин «фрактал» (от лат. fractus — изломанный) совсем недавно — в 1975 году. Nomen est numen, вспоминает Мандельброт латинское выражение: «назвать — значит понять». С этого момента можно вести отсчет современной фрактальной геометрии.

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — математическое множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев.

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

• Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

• Является самоподобным или приближённо самоподобным (иными словами, любая часть фрактала похожа на весь фрактал в целом; так, отдельная ветка на дереве напоминает по строению все дерево, а часть листа папоротника — весь лист).

• Обладает дробной метрической размерностью (иначе называемой фрактальным измерением) или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Похожие объекты многократно всплывали в истории математики, но именно Мандельброт объединил разрозненные события в одну стройную систему — теорию неровностей и шероховатостей. Она описывала некоторый порядок в формах, до того считавшихся неупорядоченными. В форме облака, в строении дерева или очертании береговой линии Мандельброт находит измеряемые параметры — законы упорядоченности в хаосе.

Фрактальная геометрия – это теория построения чего-либо на основе одного простого правила – самоподобия - каждая мельчайшая часть структуры является подобной всей структуре в целом или же какой-либо более крупной части структуры.

Основная проблема классической математики перед фракталами - невозможность измерить (длину, высоту и т.д., т.к. фракталы всегда бесконечны).

Линейные фракталы обладают самоподобием в чистом виде – любая часть есть точная копия целого.

Нелинейные фракталы обладают неточным самоподобием – в них часть есть не точная, а деформированная копия целого.

Фрактальная геометрия – это теория построения снежинки, облака и вселенной в целом. С помощью фрактальной геометрии можно даже измерить степень хаоса и описать форму облака.

Причина, по которой фрактальная геометрия возникла так поздно, конечно, заключается, среди прочего, в отсутствии до 70-х годов ХХ века нормальных вычислительных мощностей. Также она может быть обусловлена историческим и околорелигиозным наследием евклидовой геометрии.

Ключевыми фигурами в геометрии еще со времен Платона, считавшего их строительным материалом этого мира, считались пять фигур: тетраэдр (четыре грани), куб (шесть), октаэдр (восемь), додекаэдр (12) и икосаэдр (20). Другие формы находились вне плоскости изучения геометрии. В лучшем случае они считались тенями — неточными воплощениями идеальных божественных фигур. В худшем — просто отбрасывались как патологические.

В простых пропорциях целых чисел искали отблески небесной гармонии и строители готических соборов, считая, что «музыка сфер» крайне гармонична, так как использует именно простые пропорции. При таком взгляде иррациональные пропорции дерева, например, не обладали божественной гармонией — только ее отблесками. Это последствия антропоцентричного мышления. Простые музыкальные аккорды, приятные нашему слуху, имеют простые пропорции —> значит, и небеса построены на этих пропорциях, ведь это отражение высшей гармонии, —> значит, и все остальное надо измерять, отталкиваясь от этих пропорций.

К сожалению, эти пропорции отражают разве что устройство человеческого уха и психики. Шум листвы — это не кварта, а песня соловья строится не по нами определенным нотам. Открытие Мандельброта понадобилось, чтобы показать, что в изломанных формах природы есть значительно более сложный и интересный порядок.

Самый близкий его пример — прямо у вас в груди. Сердечный ритм имеет ярко фрактальную структуру. В нас отблеск не божественной простоты и гармонии, которую мы выдумали сами, а изначального хаоса этой вселенной. Соответствие между фракталами и хаосом не случайно. Скорее оно является симптомом их глубинной связи: фрактальная геометрия — это геометрия хаоса. Ещё одна параллель между фрактальной геометрией и теорией хаоса заключается в том, что последние открытия в той и другой области стали возможными благодаря мощным современным компьютерам. Этот факт противоречит традиционным математическим представлениям. В то время как многие математики встретили приход компьютеров с энтузиазмом и чувством облегчения, другие рассматривают компьютеризацию как отрицание чистой математики.