Математика, мет. указ. к.р. 1-3 - копия
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА федеральное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
(МИИТ)
ОДОБРЕНО: |
УТВЕРЖДЕНО: |
Кафедра «Высшая и |
Декан ф-та ТСиЗ |
прикладная математика» |
|
|
«__» ______2011г. |
Составители: Блистанова Л.Д., д.ф.-м.н., доц., Захарова М.В., к.ф.-м.н., доц., Сперанский Д.В., д.т.н., проф.
МАТЕМАТИКА
Задания на контрольные работы № 1 – 3
для студентов 1 курса заочной формы обучения специальностей:
271501.65 – Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей, все специализации
Москва 2011г.
1
Методические указания по выполнению контрольных работ
Задачи, включенные в контрольную работу, взяты из сборника задач, подготовленного коллективом преподавателей кафедры «Высшая и прикладная математика» РОАТ МГУПС. Все задачи имеют тройную нумерацию, которая включает номер раздела из сборника задач, уровень сложности задачи и порядковый номер задачи. Студент выполняет те задачи, последняя цифра номера которых совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Например, студент, учебный шифр которого имеет последнюю цифру 7, в контрольной работе №1 решает задачи 1.1.77, 2.1.27, 2.1.57, 2.2.7, 3.1.27; в контрольной работе №2 – 6.2.7, 6.3.17, 7.1.17, 7.1.47, 7.2.47; в контрольной работе №3 – 8.2.7, 8.2.27, 8.2.77, 9.1.7, 9.1.67.
Перед выполнением контрольной работы студент должен ознакомиться с содержанием разделов рабочей программы, на освоение которых ориентирована выполняемая контрольная работа. Необходимую учебную литературу студент может найти в рабочей программе (в программе указана как основная, так и дополнительная литература).
Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны: дисциплина, номер контрольной работы, шифр студента, курс, фамилия, имя и отчество студента. На обложке вверху справа указывается фамилия и инициалы преподавателя-рецензента.
Вконце работы студент ставит свою подпись и дату выполнения работы.
Вкаждой задаче надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.
Решение каждой задачи должно содержать подробные вычисления, пояснения, ответ, а также, в случае необходимости, и рисунки. После каждой задачи следует оставлять место для замечаний преподавателя-рецензента. В случае невыполнения этих требований преподаватель возвращает работу для доработки без ее проверки.
2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры
1.1.81–1.1.90. Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4. Найти площадь грани А1А2А3 и объем пирамиды. Сделать чертеж.
1.1.71. А1 (4; |
2; |
5), |
А2 (0; |
7; 2), |
А3 |
(0; 2; 7), |
А4 (1; |
5; 0) . |
|||
1.1.72. А1 (4; |
4; |
10), |
А2 (4; |
10; 2), |
А3 |
(2; 8; 4), |
А4 |
(9; |
6; 4) . |
||
1.1.73. А1 (4; |
6; |
5), |
А2 (6; |
9; 4), |
А3 |
(2; 10; 10), А4 (7; 5; 9) . |
|||||
1.1.74. А1 (3; 5; 4), |
А2 (8; 7; 4), |
А3 |
(5; 10; 4), |
А4 (4; 7; 8) . |
|||||||
1.1.75. А1 (10; 6; 6), |
А2 (-2; 8; 2), |
А3 (6; 8; 9), |
А4 (7; 10; 3) . |
||||||||
1.1.76. А1 (1; 8; 2), |
А2 |
(5; 2; 6), |
А3 |
(5; 7; 4), |
А4 |
(4; 10; 9) . |
|||||
1.1.77. А1 |
(6; 6; 5), |
А2 |
(4; 9; 5), |
А3 |
(4; 6; 11), |
А4 (6; 9; 3) . |
|||||
1.1.78. А1 |
(7; 2; 2), |
А2 |
(5; 7; 7), |
А3 |
(5; 3; 1), |
А4 |
(2; 3; 7) . |
||||
1.1.79. А1 |
(8; 6; 4), |
А2 |
(10; 5; 5), А3 |
(5; 6; 8), |
А4 |
(8; 10; 7) . |
|||||
1.1.80. А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8), |
А4 (8; 4; 1) . |
||||||||||
2.1.21.Составить уравнение перпендикуляра, проходящего через середину отрезка AB , если A(1,3) ; B(3,1) . Сделать чертеж.
2.1.22.Составить уравнение прямой, проходящей через т. A(1,1) параллельно прямой 2x y 8 0 . Сделать чертеж.
2.1.23.Составить уравнение прямой, проходящей через т. A(2,1) перпендикулярно прямой y 3x 1. Сделать чертеж.
2.1.24.Составить уравнение перпендикуляра, проходящей через середину отрезка AB , если A(2; 3) ; B(4; 5) . Сделать чертеж.
2.1.25.Составить уравнение прямой, проходящей через т. A 3;1 и параллельной прямой x y 5 0 . Сделать чертеж.
2.1.26.Составить уравнение прямой, проходящей через т. A 1;8 и параллельной прямой 5x y 4 0 . Сделать чертеж.
2.1.27.Составить уравнение перпендикуляра, проходящего через середину отрезка AB , если A 4; 2 ; B 2; 4 . Сделать чертеж.
2.1.28.Составить уравнение прямой, проходящей через т. A 1; 2 и параллельной прямой x 2y 14 0 . Сделать чертеж.
2.1.29.Составить уравнение прямой, проходящей через т. A 1;3 и перпендикулярной к прямой x 2y 3 0 . Сделать чертеж.
2.1.30.Составить уравнение перпендикуляра, проходящего через середину отрезка AB , если A(3; 2) ; B(5;6) . Сделать чертеж.
3
|
2.1.51. Составить уравнения прямой, проходящей через т. |
M1 (2;3; 1) |
и |
||||
M 2 (3;1; 4) и указать какая из т. A, B,C, D, E лежит на этой прямой: |
|
|
|||||
а) |
A(5; 3;14) ; |
б) B(5;14; 3) ; |
|
в) C( 3;5;14) ; |
г) D( 3;14;5) ; |
|
|
д) |
E(14; 3;5) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
2.1.52. Составить уравнения прямой, проходящей через т. |
M1 (1;1; 1) |
и |
||||
M 2 (2; 1;3) и указать какая из т. |
|
A, B,C, D, E лежит на этой прямой: |
|
||||
а) |
A(4; 5;11) ; |
б) B(4;11; 5) ; |
|
в) C( 5; 4;11) ; |
г) D( 5;11; 4) ; |
|
|
д) |
E(11; 5; 4) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
2.1.53. Составить уравнения прямой, проходящей через т. |
M1 (0;1; 1) |
и |
||||
M 2 (1; 2; 3) и указать какая из т. |
|
A, B,C, D, E лежит на этой прямой: |
|
||||
а) |
A(3; 4; 7) ; |
б) B(3; 7; 4) ; |
|
в) C(4;3; 7) ; |
г) D(4; 7;3) ; |
|
|
д) E( 7; 4;3) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
||
|
2.1.54. Составить уравнения прямой, проходящей через т. |
M1 (2;0; 1) |
и |
||||
M 2 (3; 1; 2) и указать какая из т. |
|
A, B,C, D, E лежит на этой прямой: |
|
||||
а) |
A(5; 3;8) ; |
б) B(5;8; 3) ; |
|
в) C( 3;5;8) ; |
г) D( 3;8;5) ; |
|
|
д) |
E(8; 3;5) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
2.1.55. Составить уравнения прямой, проходящей через т. M1 ( 1;0;4) и |
||||||
M 2 (1;1;1) и указать какая из т. A, B,C, D, E лежит на этой прямой |
|
|
|||||
а) |
A(5;3; 5) ; |
б) B(5; 5;3) ; |
|
в) C(3;5; 5) ; |
г) D(3; 5;5) ; |
|
|
д) E( 5;5;3) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
||
|
2.1.56. Составить уравнения прямой, проходящей через т. |
M1 (0; 2;3) |
и |
||||
M 2 (1; 1;2) и указать какая из т. |
A, B,C, D, E лежит на этой прямой |
|
|
||||
а) |
A(3;1;0) ; |
б) B(3;0;1) ; |
|
в) C(1;3;0) ; |
г) D(1;0;3) ; |
|
|
д) E(0;3;1) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
||
|
2.1.57. Составить уравнения прямой, проходящей через т. |
M1 (0; 2;3) |
и |
||||
M 2 (1; 1; 2) и указать какая из т. |
|
A, B,C, D, E лежит на этой прямой |
|
|
|||
а) A( 1; 3; 4) ; |
б) B( 1;5; 3) ; |
|
в) C( 3; 1;5) ; |
г) D( 1;5; 3) ; |
|
||
д) |
E(5; 1; 3) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
2.1.58. Составить уравнения прямой, проходящей через т. M1 (1;1;1) |
и |
|||||
M 2 ( 3; 2;0) и указать какая из т. |
|
A, B,C, D, E лежит на этой прямой |
|
|
|||
а) |
A( 11; 4; 2) ; |
б) B( 11; 2; 4) ; |
в) C(4; 11; 2) ; |
г) D( 2; 11; 4) ; |
|
||
д) E( 2; 4; 11) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
||
|
2.1.59. Составить уравнения прямой, проходящей через т. |
M1 (2; 2;1) |
и |
||||
M 2 (3;1; 1) и указать какая из т. |
A, B,C, D, E лежит на этой прямой |
|
|
||||
а) |
A(5;7; 5) ; |
б) B(5; 5; 4) ; |
|
в) C(4;5; 5) ; |
г) D(4; 5;5) ; |
|
|
д) E( 5;5; 4) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
||
|
2.1.60. Составить уравнения прямой, проходящей через т. |
M1 (2; 1;1) |
и |
||||
M 2 (1; 2; 1) и указать какая из т. |
|
A, B,C, D, E лежит на этой прямой |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
а) A( 1;8; 5) ; |
б) B( 1; 5;8) ; |
в) C(8; 1; 5) ; |
г) D(8; 5; 1) ; |
д) E( 5; 1;8) . Сделать чертеж. |
|
|
|
2.2.1.Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки А(5; 0) относятся как 2:1. Сделать чертеж.
2.2.2.Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(–1; 0) вдвое меньше расстояния ее от прямой х=–4. Сделать чертеж.
2.2.3.Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки А(2; 0) и от прямой 5х+8=0 относятся, как 5:4. Сделать чертеж.
2.2.4.Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(4; 0), чем от точки В(1; 0). Сделать чертеж.
2.2.5.Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки А(2; 0) и от прямой 2х+5=0 относятся, как 4:5. Сделать чертеж.
2.2.6.Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(3; 0) вдвое меньше расстояния от точки В(26; 0). Сделать чертеж.
2.2.7.Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки А(0; 2) и от прямой у–4=0. Сделать чертеж.
2.2.8.Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности х2+у2=4х. Сделать чертеж.
З а м е ч а н и е . Напомним, что за расстояние от точки А до фигуры Ф принимается наименьшее из расстояний между точкой А и точками фигуры Ф.
2.2.9.Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноудалена от точки А(2; 6) и от прямой у+2=0. Сделать чертеж.
2.2.10.Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой отстоит от точки А(–4; 0) втрое дальше, чем от начала координат. Сделать чертеж.
3.1.21–3.1.30. Систему линейных уравнений решить матричным методом и методом Гаусса (методом исключения неизвестных). Сделать проверку.
3х1 2х2 |
х3 |
5, |
х1 2х2 3х3 6, |
|||||||||||
3.1.21. 2х1 |
3х2 |
х3 |
1, |
3.1.22. 2х1 |
3х2 |
4х3 |
20, |
|||||||
2х |
х |
2 |
3х |
3 |
11 |
3х 2х |
2 |
5х |
3 |
6. |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
5
|
4х 3х 2х 9, |
х1 х2 2х3 1, |
|||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.1.23. 2х1 |
5х2 |
3х3 |
4, |
3.1.24. 2х1 |
х2 |
2х3 |
|
4, |
|||||||||
|
|
6х2 |
2х3 |
18. |
5х |
|
х |
|
4х |
|
|
2. |
|||||
5х1 |
1 |
2 |
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2х1 х2 х3 4, |
3х1 4х2 2х3 8, |
||||||||||||||||
3.1.25. 3х1 |
4х2 |
2х3 |
11, |
3.1.26. 2х1 х2 |
3х3 4, |
||||||||||||
3х |
2х |
2 |
4х |
3 |
11. |
|
х |
|
5х |
2 |
х |
3 |
0. |
||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
х1 х2 |
х3 1, |
|
х1 4х2 |
2х3 |
3, |
|||||||||||||
3.1.27. 8х1 |
3х2 |
6х3 |
2, |
3.1.28. 3х1 |
х2 |
х3 |
5, |
|||||||||||
4х |
х |
2 |
3х |
3 |
3. |
3х |
5х |
2 |
6х |
3 |
9. |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
7 |
х1 |
5х2 |
31, |
|
х1 2х2 |
4х3 |
31, |
|||||||||||
3.1.29. 4 |
х1 |
11х3 43, |
3.1.30. 5х1 х2 |
2х3 |
20, |
|||||||||||||
2 |
х |
3х |
2 |
4х |
3 |
20. |
3х |
х |
2 |
х |
3 |
9. |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Введение в математический анализ. Производная и ее приложения.
6.2.1–6.2.10. Найти пределы
6.2.1. а) lim |
1 2x |
|
|
|
|
|||||||||||
3x 2 |
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|||||||||||||
в) lim |
1 cos x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
5x2 |
|
|
|
||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
||||||||||||
6.2.2. а) lim |
|
x3 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
2x3 |
1 |
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|||||||||||||
в) lim |
|
arcsin3x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
5x |
|
|
|
||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
||||||||||||
6.2.3. а) lim |
|
|
2x3 |
x2 |
5 |
|||||||||||
|
|
x3 x 2 |
||||||||||||||
x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) lim |
|
|
|
|
1 cos2x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6.2.4. а) lim |
|
|
3x4 |
x2 |
6 |
|||||||||||
|
2x4 x 2 |
|||||||||||||||
x |
||||||||||||||||
функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
1 x |
1 x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 3 x |
|
|
||||||||||||
г) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
x 2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) lim |
|
|
|
|
|
|
2 x 3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 7 |
|
|
|||||||
x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2x 1 |
x |
|
|
||||||||||
г) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
2x 1 |
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) lim |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
x 1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4x 1 |
2 x |
|
|
||||||||||
г) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4x |
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
x |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
1 |
3x 1 |
||||
x 0 |
|||||
|
|
|
|
||
6
в) lim |
|
5x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
arctgx |
||||||||
x 0 |
||||||||
6.2.5. а) lim |
|
2x2 6x 5 |
|
|||||
|
5x2 x 1 |
|||||||
x |
|
|||||||
в) lim |
|
cos x cos3 x |
||||||
|
|
|
|
|
||||
x 0 |
|
x2 |
||||||
6.2.6. а) lim |
|
3 x 5x4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
x x4 12x 1 |
||||||||
в) lim |
x2 ctg 2x |
|
||||||
|
sin 3x |
|||||||
x 0 |
|
|||||||
6.2.7. a) lim |
|
x 2x2 |
5x4 |
; |
||||||||||
|
2 3x2 |
x4 |
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
||||||||||
в) lim |
1 cos 6x |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||
1 cos 2x |
|
|
|
|
|
|||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6.2.8. a) lim |
|
5x2 3x 1 |
; |
|
|
|
||||||||
|
3x2 x |
5 |
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) lim |
|
tg2 (x / 2) |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2.9. a) lim |
|
|
7x4 2x3 |
2 |
; |
|
||||||||
|
|
|
x4 |
3 |
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) lim |
1 cos 4x |
; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
x 0 |
|
|
|
2x tg2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2.10.a) lim 8x5 3x2 9 ; x 2x5 2x2 5
в) lim 5x ctg3x;
x 0
г) lim 1 2x 1x |
|
|
|
|
||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
1 |
1 x2 |
|
|
|
|
||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
г) |
lim x ln x 1 ln x |
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) lim |
1 3x |
|
1 2x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x x2 |
|
||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|||||
г) xlim 2x 1 ln x 3 ln x
б) lim |
|
1 3x2 |
1 |
; |
|
|
x2 x3 |
|
|||
x 0 |
|
||||
г) lim(x 5)[ln(x 3) ln x].
x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
2x 1 |
5 |
; |
|
|
|||||||||
|
|
x 3 |
|
|
|
|||||||||||
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
г) lim(7 6x)x /(3x 3) . |
|
|
||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) lim |
|
|
1 3x |
2x 6 |
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
x2 5x |
|
||||||||||
x 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
г) lim(3x 5)2 x /( x2 4) . |
|
|
||||||||||||||
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) lim |
|
|
|
x 2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) lim(3x 8)2 /( x 3) .
x 3
6.3.11–6.3.20. Задана функция у=f (х). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.
|
x 4, |
x 1; |
|||
6.3.11. |
|
2 |
2, |
1 x 1; |
|
f (x) x |
|
|
|||
|
2x, |
x 1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
x 2, |
x 1; |
|||
|
|
|
2 |
1, |
1 x 1; |
6.3.12. |
f (x) x |
|
|||
|
x 3, |
x 1. |
|||
|
|
|
|
|
|
7
|
x, |
|
x 0; |
||||||
6.3.13. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 x 2; |
f (x) (x 1) |
|
, |
|||||||
|
x 3, |
|
|
|
|
x 2. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x, |
|
|
x 0; |
|||||
6.3.14. |
|
2 |
1, |
|
|
0 x 1; |
|||
f (x) x |
|
|
|
||||||
|
x, |
|
|
|
x 1. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, |
|
x 0; |
||||||
6.3.15. |
|
2 |
|
|
|
x 2; |
|||
f (x) x |
|
, |
0 |
||||||
|
x 1, |
|
|
|
|
x 2. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, |
|
x 0; |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 x ; |
|||
6.3.16. |
f (x) sin x, |
|
|||||||
|
|
2, |
|
|
|
|
x . |
||
|
x |
|
|
|
|
||||
|
( x 1), |
x 1; |
|||||||
6.3.17. |
|
|
|
1) |
2 |
, |
|
|
1 x 0; |
f (x) (x |
|
|
|
||||||
|
x, |
|
|
|
x 0. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.3.18.f (
6.3.19.f (
6.3.20.f (
x2 , x) tg x,
2,
2x,
x) x2 1,2,
2 x,
x) 
x ,
1,
x 0;
0 x / 4; x / 4.
x 0;
0 x 1;
x1.
x0;
0 x 4; x 4.
7.1.11–7.1.20. Найти производные dy данных функций. dx
7.1.11. a) y x2 sin 3x ; |
б) y t arctg 2t, |
при t 1; |
|
x t 3 6arcctgt |
|
8
в) y tgx 3 ln 4 x .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
3 |
|
|
|
|
y 3t arctgt |
|
, |
|
|
t |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
7.1.12. a) |
|
ln 4x ; |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x t 4 |
arcctgt |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
y cos 2x sin 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
y t 3 arctg3t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7.1.13. a) |
y x4tg 2x ; |
б) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
при |
t |
|
1 |
|
; |
|
|||||||||||
|
t arcctg 3t |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) |
y cos x5 sin 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y t 65arctgt |
, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
7.1.14. a) |
y x |
5 |
e |
4 x |
; |
б) |
|
при |
t |
|
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x t 2 |
arcctgt |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
y cos 2x tg 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
y t 5 |
ln 25t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7.1.15. a) |
y x4 ctg 5x ; |
б) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
при |
t |
1 |
|
; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
t arccos 3t |
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
y sin x7 sin 4 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.1.16. a) |
y x3 sin 5x ; |
б) y t arctg3t, |
|
|
|
при |
t 1; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x t 2 |
|
2arcctgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) |
y cos 3x sin 2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.1.17. a) |
y x |
4 |
ln 7x ; |
б) |
y 7t arctgt 3 , |
|
при t |
2 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x t 5 |
arcctgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
y cos 5x sin 7 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
y t 5 |
arctg 4t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.1.18. a) |
y x5tg 4x ; |
б) |
5 |
|
|
|
|
|
при |
t |
1 |
|
; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
t arcctg 4t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
y cos x4 sin8x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
y t 17arctgt 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7.1.19. a) |
y x6 e5x ; |
б) |
|
|
1 |
|
|
|
t 5 arcctgt |
|
при |
t 2 ; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) |
y cos 4x tg 6 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
y t 2 |
arcsin 5t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.1.20. a) |
y x7 ctg10x ; б) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
при |
t |
|
|
1 |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
t arccos 5t |
|
|
|
|
|
25 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) |
y sin x2 sin 7 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9
7.1.41–7.1.50. Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.
7.1.41.lim 1 2sin x .
1 3tgxx
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.1.43. |
lim |
|
|
1 e2 x |
|
. |
|
|
|||||
ln 1 2x |
|
|
|||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
||||||||
7.1.45. |
lim |
|
ex |
e x |
2x |
. |
|||||||
|
|
|
x sin x |
||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||
7.1.47. |
lim |
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x 0 ex |
1 |
|
x |
|
||||||||
7.1.49. |
lim |
x ln 1 x |
. |
|
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
x 0 |
|
|
ex 1 |
|
|
|
|
|
||||
7.1.42.lim cos 2x .
1 tgxx
4
|
|
|
|
1 x2 |
|
|||||
7.1.44. |
lim |
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
x 1 |
ln x |
|
|||||||
7.1.46. |
lim x3 ln x. |
|
||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.1.48. |
lim |
|
|
x |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x e2 x |
|
|
|
|
|||||
7.1.50. |
lim |
ex e x |
|
. |
||||||
ln |
1 x |
|||||||||
|
x 0 |
|
||||||||
7.2.41–7.2.50. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y f (x) на отрезке [a;b] .
7.2.41. |
f (x) x3 |
12x 7; |
[0; 3]. |
|||
7.2.42. |
f (x) x5 |
(5/ 3)x3 |
2; |
[0; 2]. |
||
|
|
|
|
|
||
7.2.43. |
f (x) ( |
3 / 2)x cosx; |
[0; / 2]. |
|||
7.2.44. |
f (x) 3x4 16x3 2; |
[ 3;1] . |
||||
7.2.45. |
f (x) x3 |
3x 1; |
[1/ 2; 2]. |
|||
7.2.46. |
f (x) x4 |
4x; |
[ 2; 2] . |
|||
|
|
|
|
|
||
7.2.47. |
f (x) ( |
3 / 2)x sin x; |
[0; / 2]. |
|||
7.2.48. |
f (x) 81x x4 ; |
[ 1; 4] . |
||||
7.2.49. |
f (x) 3 2x2 ; |
[ 1; 3]. |
|
|||
7.2.50. |
f (x) x sin x; |
[ ; ] . |
||||
10