8. Частные решения неоднородной системы

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.

, , 

1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:  – кратные действительные корни Общее решение: 

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:  (предварительно смотрим Раздел III справочной таблицы).

Подставим  и  в левую часть неоднородного уравнения: Составим и решим систему:

Таким образом: .

3) Общее решение неоднородного уравнения: 

4) Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным условиям:  

Ответ: частное решение: 

10. Фазовое пространство и фазовые траектории автономной системы. Свойства решений и фазовых траекторий.

Автономные системы дифференциальных уравнений

x˙=f(x,y)

{ (1)

y˙=g(x,y)

Траекторией (или фазовой кривой) системы (1) называется кривая, параметрически задающаяся как (x,y)=(x(t),y(t)), где (x(t),y(t)) — некоторое решение системы (1).

Пространство R^2 называется фазовым пространством системы (1). Его точки – состояние системы.

Фазовые траектории являются проекциями интегральных кривых на плоскость R^2.

Свойства решений и фазовых траекторий:

1. фазовые траектории либо не пересекаются, либо совпадают

2. точка х=а (принадлежит R^2) такая, что f(a)=0 называется положением равновесия системы (1)

3. система (1)может иметь фазовые траектории только следующих типов:

гладкие кривые без самопересечений

замкнутые гладкие кривые(циклы)

точки (положения равновесия)

Циклы соответствуют периодическим решениям, а точки – положениям равновесия.

11. Исследование положений равновесия и фазовые портреты линейных автономных систем на плоскости – случаи узла, седла, фокуса и центра.

Схема построения фазового портрета

1. Определить точки покоя системы.

2. Выписать характеристическое уравнение (3) и найти корни и- собственные значения матрицы системы.

3. По таблице определить тип точки покоя.

4. Начертить фазовый портрет.

 a) Если точка покоя является узлом или седлом, то следует найти собственные вектора матрицы и начертить определяемые этими векторами прямые на фазовой плоскости. В случае узла фазовые траектории касаются той прямой, которая отвечает меньшему по абсолютной величине собственному значению. б) Если точка покоя является фокусом, то нужно определить направление закручивания траекторий. Для этого достаточно построить в какой-либо точке вектор скорости, определяемый по формулам (2). в) В оставшихся случаях вид траекторий можно определить, непосредственно решая данную систему. Для этого ее нужно записать в виде.5. Определить направление движения по фазовым траекториям и изобразить его стрелками на фазовом портрете. Оно определяется устойчивостью (к) или неустойчивостью (от) исследуемого положения равновесия. В случае седла сначала нужно показать направления движения по прямым, определяемым собственными векторами, учитывая, что движение по прямой, соответствующей отрицательному собственному значению, происходит к точке покоя, а по прямой, соответствующей положительному собственному значению, - от нее. По всем остальным фазовым траекториям движение происходит согласно указанным уже направлениям.

Классификация точек покоя.

Корни характеристического уравнения	Качественная картина фазовых траекторий	Название положения равновесия
если λ1 и λ2 - комплексные числа, то    a. если a = 0, то точка устойчива, но не асимптотически и называется центром;		Центр
если a < 0, то точка асимптотически устойчива и называется устойчивым фокусом если a > 0, то точка неустойчива и называется неустойчивым фокусом		Фокус
если λ1, λ2 - вещественные положительные числа. Тогда точка покоя неустойчива и называется неустойчивым узлом если λ1 и λ2 - вещественные отрицательные числа, то точка покоя устойчива и называетсяустойчивым узлом		Узел
если λ1 и λ2 - вещественные числа, имеющие разные знаки, то точка покоя неустойчива и называется седлом		Седло