Методы оценивания параметров источников сигналов АР

Если пренебречь влиянием шума и учесть, что SH (ϕ)S(ϕ) = S(ϕ) 2 = N , то из (2.12) и (2.11) получим следующий результат

Нетрудно видеть, что выражение (2.13) достигает максимума при φ =φ0. Если АР эквидистантная, то xn = d(n -1) , и формула (2.13) может быть преобразована аналогично

Функция F(ϕ,ϕ0 ) 2 представляет собой отклик нашего “прибора” (антенной решетки)

на плоскую волну единичной амплитуды. Ее можно назвать аппаратной функцией.

Функция F(ϕ,ϕ0 ) 2 совпадает с ДН АР по мощности. Иногда метод оценивания угла

прихода (2.11) называют методом сканирования лучом антенны.

Если сигнал отсутствует и вместо смеси Z в (2.11) входит только шум X, то средняя мощность шума на выходе равна σ2. Это мы определили ранее в подразделе 1.5.

Теперь будем полагать, что сигнал принимается на фоне шума. Тогда выход измерительной системы (2.11) представляет собой случайную функцию угловой переменной φ. Найдем среднее и среднеквадратическое отклонение этой функции. Для этого (2.12) подставим в (2.11) и найдем статистическое среднее. В результате получим,

Функции, рассчитанные для эквидистантной АР по формуле (2.15), и нормированные к своим максимальным значениям, представлены на рис. 2.3 (φ0=0) и рис. 2.4 (φ0=200) в

идеальном случае отсутствия шума, а также при ОСШ a0 2 /σ 2 в одном элементе АР равном 3 дБ и -3 дБ. Параметры N=16, d/λ=0.5. Во всех случаях мы наблюдаем, что максимум отклика совпадает с направлением на источник сигнала, хотя в области боковых лепестков наблюдается существенные изменения.

31

Теперь найдем среднеквадратическое отклонение (СКО) интересующей нас функции (2.11) от ее среднего (2.15). По определению СКО равно

Подставляя сюда (2.12) и (2.15), найдем, что

СКО (2.17) характеризует количественно возможные случайные отклонения отдельных реализаций отклика (2.11) от средней величины (2.15). На рис. 2.5 приведены три кривые. Под номером 1 дан средний отклик (2.15) при φ0=0 и ОСШ в одном элементе АР, равном единице (0 дБ). Кривые под номерами 2 и 3 получены путем вычитания и добавления СКО (2.17) к среднему значению (2.15). Таким образом, область отдельных реализаций отклика заключена в основном между кривыми 2 и 3. Для большей детализации кривых в области главного луча эти же результаты представлены на рис. 2.6.

Рис. 2.5. Средний отклик АР (кривая 1) и средний отклик АР с вычтенной или с добавленной СКО (кривые 2 и 3, соответственно). φ0=0, ОСШ в одном элементе АР равно 0 дБ

33

Если выполнить также усреднение по оценкам направления на источник сигнала ϕ)0 , то мы найдем, что среднее значение оценки амплитуды равно амплитуде сигнала. Значит, оценка будет не смещенная.

2.1.2. Два дискретных источника. В этом случае сигнальная модель (2.1) должна быть

записана в виде

Сначала мы исследуем результат, который получается, если в данном случае применить обработку сигнала (2.11), которая является оптимальной в предположении только одного источника сигнала. Для этого рассмотрим два примера.

В первом примере мы предположим, что оба источника имеют одинаковые и равные единице амплитуды волн, т.е. а1=а2=1. Выберем два варианта направлений углов прихода: ϕ1 = -π 32, ϕ2 = π 32 в первом варианте и ϕ1 = -π 64, ϕ2 = π64 во втором варианте.

Предположим, что измерение углов прихода волн выполняется с помощью линейной эквидистантой АР из 16 элементов (N=16) и полуволновым межэлементным расстоянием (d/λ=0.5). Подставляя (2.21) в (2.11) и пренебрегая влиянием собственного шума, мы

вычислим функцию ДН АР по мощности в виде

имеет два максимума, положения которых точно совпадают с направлениями прихода волн. Во втором варианте (кривая 2) наблюдается единственный максимум в направлении φ=0. В этом случае АР не может различить две волны отдельно. В чем причина такого явления?

35

сигналов могут быть разрешены, даже если они находятся в пределах ширины ДН АР. Методы, которые позволяют обеспечить решение такой задачи, называются методами “сверхразрешения”. Такое название связано с тем, что эти методы превосходят предел разрешения Релея.

Рассмотрим также второй пример, в котором амплитуды волн различны и отличаются в два раза, т.е. а1=1; а2=0.5. Угловые положения источников такие же, как в предыдущем примере. Функция F(ϕ) , вычисленная для этого примера, представлена на рис. 2.8.

Видно, что кривая 1 имеет два максимума, как и в предыдущем примере. Направление

первого максимума совпадает с направлением на источник с большей амплитудой сигнала, в то время как направление второго максимума несколько смещено от направления на источник с меньшей амплитудой сигнала. Видно, что амплитуда второго сигнала оценивается со смещением. Это значит, что имеется систематические ошибки измерения углов прихода и амплитуд сигналов. Кривая 2 имеет один максимум, как и в предыдущем примере, но его положение смещено в сторону более мощного сигнала.

Рис. 2.8 Отклики АР в случае двух (показано стрелками) источников сигналов разной мощности

а1=1; а2=0.5

Приведенные примеры показывают, что метод измерения параметров источников сигналов в соответствии с (2.11), разработанный исходя из априорного предположения о наличии одного источника, не является оптимальным в случае двух источников сигналов.

Чтобы получить оптимальный метод измерения параметров двух сигналов, мы должны априори предположить, что в пространстве имеется два источника. Теперь в (2.21) мы имеем четыре неизвестных параметра: углы прихода двух плоских волн φ1, φ2 и их

37

амплитуды а1, а2. Если принята некоторая реализация вектора Z, то согласно методу наименьших квадратов мы должны минимизировать функцию 4-х переменных, которую

можно записать следующим образом

Векторы S(ϕ1) и S(ϕ2 ) образуют плоскость, если φ1≠φ2. Также мы полагаем, что число элементов решетки N>2. Поэтому вектор Z имеет размерность больше двух и представим в виде суммы двух ортогональных векторов Z11 , Z , таких, что первый лежит в плоскости векторов S(ϕ1 ),S(ϕ2 ) , а второй ортогонален ей. Аналогично (2.5) выражение (2.23) можно

переписать следующим образом

Чтобы построить матрицу проектирования на заданную плоскость, векторы-столбцы

S(ϕ1 ),S(ϕ2 ) объединим в матрицу F = [S(ϕ1 ),S(ϕ2 )]. Тогда матрица проектирования на

Свойства (2.7), справедливые для проекционных матриц (2.6), выполняются также и для проекционных матриц (2.25) и (2.26).

Рассмотрим более подробно проекционную матрицу (2.25). Входящую сюда матрицу

FH F представим в виде

Похожее выражение встречалось в формуле (1.31). Выполняя суммирование в (2.28), получаем выражение, подобное (1.34)

38

Отсюда следует, что диагональные элементы (k=l) матрицы FH F в (2.27) равны N. Если расстояние между элементами АР выбрано так, что дифракционные лепестки

элементы равны нулю и матрица (2.27) имеет диагональный вид. В этих случаях говорят,

что векторы S(ϕ1 ),S(ϕ2 ) являются ортогональными. Математики называют матрицу (2.27)

матрицей скалярных произведений векторов или матрицей Грама. Чем больше элементов в АР, тем больше число ситуаций, когда векторы S(ϕ1 ),S(ϕ2 ) являются ортогональными.

Чтобы определить координату каждого источника, мы должны минимизировать в (2.24)

квадрат модуля ортогональной проекции Z 2 равный

Угловые координаты φ1, φ2 являются независимыми переменными, и, поэтому мы должны исследовать функцию (2.30) на плоскости переменных φ1, φ2. Минимум квадрата модуля ортогональной проекции будет в точке, где максимален квадрат модуля

Z11 2 проекции, параллельной плоскости, образуемой векторами S(ϕ1 ),S(ϕ2 ) . Поэтому мы

Вернемся к примеру, который мы рассматривали выше. Мы предполагали, что оба источника имеют одинаковые и равные единице амплитуды волн, т.е. а1=а2=1, а углы прихода волн равны ϕ1 = π64, ϕ2 = -π64 . Как прежде, предположим, что измерение углов прихода волн выполняется с помощью линейной эквидистантой АР из 16 элементов

(N=16) и полуволновым межэлементным расстоянием (d/λ=0.5). Метод (2.11), который мы назвали методом сканирования лучом АР, не способен был различить два сигнала (кривая 2 на рис. 2.7), так как оба источника находятся на расстоянии, меньшем ширины главного луча антенны. Теперь мы попробуем применить метод (2.30), который априори предполагает, что в пространстве имеется два источника, а неизвестными являются их угловые координаты и амплитуды волн.

39

Чтобы определить угловые координаты источников, рассмотрим изолинии функции

переменных по определению называется линия в плоскости переменных, на которой функция принимает фиксированное значение. Картина изолиний для данного примера представлена на рис. 2.9.

Рис. 2.9 Картина изолиний при разрешении двух источников одинаковой мощности а1=а2=1

Картина изолиний является симметричной относительно диагонали φ1=φ2. Это связано

симметрична относительно перестановки индексов 1 и 2. Максимум функции наблюдается в точке с координатами ϕ1 = π64, ϕ2 = − π64 , а также в симметричной относительно диагонали точке ϕ1 = − π 64, ϕ2 = π64 . Таким образом, мы видим, что этот метод позволяет оценить координаты двух источников, даже если они находятся в пределах ширины главного луча АР.

Рассмотрим также второй пример, в котором амплитуды волн различны и отличаются в два раза, т.е. а1=1; а2=0.5. Угловые положения источников такие же, как в предыдущем примере. Мы видели, что источники не могут быть разрешены, если применять метод

40