- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ЧАСТЬ I. ПРОСТРАНСТВА И КООРДИНАТЫ
- •Аффинные пространства
- •Аффинные евклидовы пространства
- •Аффинные координаты и преобразования
- •Криволинейные координаты
- •Криволинейные системы координат
- •Локальные базисы
- •ЧАСТЬ II. КИНЕМАТИКА
- •Кинематика точки
- •Коэффициенты Ламе. Проекции скорости точки на оси криволинейной системы координат
- •Проекции ускорения точки на оси ортогональной криволинейной системы координат
- •Описание движения точки в естественных координатах
- •Определение кривизны траектории точки по движению
- •Два примера движения точки
- •Кинематика твердого тела
- •Движение механической системы. Твердое тело. Число степеней свободы положения. Аффинное пространство и координаты, связанные с твердым телом
- •Группа движений аффинного евклидова пространства
- •Поступательное движение твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Плоское движение твердого тела
- •Движение твердого тела вокруг неподвижной точки
- •Угловая скорость, формула Эйлера и движение твердого тела в общем случае
- •Сложное движение
- •Сложное движение точки. Основные понятия
- •Относительная производная
- •Теорема сложения скоростей в сложном движении точки
- •Теорема сложения ускорений в сложном движении точки
- •Теорема о сложении угловых скоростей в сложном движении твердого тела
- •ЧАСТЬ III. ДИНАМИКА
- •Уравнения движения и основные законы динамики механической системы
- •Принцип детерминированности и уравнение Ньютона
- •Инерциальные системы координат
- •Сила и масса. Второй и третий законы Ньютона
- •Законы сил
- •Две задачи динамики
- •Уравнения движения механической системы
- •Теорема об изменении главного вектора количества движения
- •Уравнение движения центра инерции
- •Кинетический момент относительно неподвижной точки и теорема о его изменении
- •Движение точки в центральном поле сил
- •Изменение кинетического момента, вычисляемого относительно подвижного полюса
- •Работа силы и изменение кинетической энергии материальной точки
- •Условия потенциальности силового поля
- •Кинетическая энергия системы и теорема Кенига
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •Движение точки в центральном поле сил (продолжение)
- •Динамика твердого тела
- •Масса и плотность. Геометрия масс
- •Основные законы динамики твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
- •Уравнения движения свободного твердого тела
- •Динамика точки с переменной массой
- •Уравнение Мещерского
- •Две задачи Циолковского
- •ЧАСТЬ IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
- •Общее уравнение механики
- •Cвязи, реакции. Обобщенные кооpдинаты
- •Изохронные ваpиации
- •Идеальные связи. Общее уравнение механики и принцип возможных перемещений
- •Общее уравнение механики в лагранжевых координатах
- •Уравнения Лагранжа
- •Уpавнения Лагpанжа II pода, их инваpиантность
- •Разрешимость уравнений Лагранжа II рода относительно старших производных
- •Обобщенный потенциал и уравнения Лагранжа II рода
- •Уравнения Лагранжа I рода и реакции идеальных связей
- •Канонические уравнения механики
- •Вывод канонических уравнений
- •Первые интегралы канонических уравнений
- •Метод Якоби решения канонических уравнений
- •Решение задачи о движении точки в центральном поле методом Якоби
- •Вариационные принципы механики
- •Дифференциальный принцип Даламбера-Лагранжа в декартовых переменных
- •Дифференциальный принцип Даламбера-Лагранжа в канонических переменных
- •Функционал и функция действия
- •Интегральный принцип наименьшего действия при изохронном варьировании (Принцип Гамильтона)
- •ЧАСТЬ V. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
- •Структуры и пространства
- •Группы, кольца, поля
- •Векторные пространства
- •Метрические пространства
- •Банаховы, гильбертовы и евклидовы пространства
- •Пространства Rn
- •Тензоры
- •Сопряженные пространства
- •Два определения тензора и их эквивалентность
- •Примеры тензоров
- •Алгебраические операции над тензорами
- •ЧАСТЬ VI. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАНЯТИЙ
- •Проверочные вопросы
- •Экзаменационные вопросы
- •Тесты
- •Упражнения
- •Литература
- •Предметный указатель
- •Оглавление
Перейти к оглавлению на странице: 256
ГЛАВА 14. ТЕНЗОРЫ
§1. Сопряженные пространства
Пусть V векторное пространство над полем K . Само поле K рассмотрим как векторное пространство над полем K или каким-либо его подполем Λ (например, векторное пространство C над полем R или Q или векторное пространство R над полем Q и
т.п.). Пусть, ради определенности, Λ = K . |
|
|
Отображение f : V |
→ K векторного пространства |
V |
в векторное пространство |
K называют линейной функцией или |
|
линейным функционалом |
на V , если ( x, x1, x2 V ) ( a |
|
K) (f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2), f(ax) = a f(x)).
Множество V линейных функционалов на V наделим структурой векторного пространства над полем K , полагая
( f, f1, f2 V ) ( x V ) ( a K)
((f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x), (af)(x) = af(x)) .
Векторное пространство V называют дуальным, двойственным или сопряженным к V . При рассмотрении одновременно пространств V и V иногда используют специальную терминологию. Элементы из V называют контравариантными векторами, а элементы из V – ковариантными векторами. Часто элементы из V называют просто векторами, а элементы из V ковекторами. Векторы одинаковой природы (то есть либо два или более вектора, либо два или более ковектора) называют когредиентными, а векторы разной природы – контрагредиентными. При рассмотрении сумм используют сокращения: символами aibi , aibi обозначают со-
ответственно суммы |
|
|
n |
n |
|
|
и, аналогично, символом |
|||||||
|
|
i=1 aibi , |
i=1 aibi |
|||||||||||
ϕ |
(ai) ψ |
k |
(b |
) обозначают сумму |
n |
ϕ |
(ai) ψ |
k |
(b |
) и т.п. |
||||
j |
|
i |
|
P |
|
Pi=1 |
j |
|
|
i |
|
|||
|
Пусть векторное |
пространство V имеет конечную размерность |
||||||||||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
n и пусть (e1, . . . , en) некоторый его базис. Символом ei обозначим такой элемент пространства V (то есть такой линейный функционал на V ), что ( x V ) ei(x) = xi , где x = xiei . Это означает, что функционал ei сопоставляет каждому вектору x пространства V его i-ую координату xi в базисе (e1, . . . , en). Так как
208
Перейти к оглавлению на странице: 256
ei(x) = ei(xjej) = xjei(ej), то можно дать следующее равносильное описание функционала ei :
1, i = j;
0, i 6= j.
Это равенство называют условием сопряженности (или двойственности, или дуальности) базисов, что согласуется со следующей теоремой.
Теорема 1.1. (о базисе сопряженного пространства) После-
довательность (e1, . . . , en) базис пространства V . Следствие 1.1. dim V = dim V .
Замечание 1.1. Базис (e1, . . . , en) называют дуальным, двой-
ственным или сопряженным базису (e1, . . . , en) пространства V .
Доказательство. Докажем линейную независимость элементов
e1, . . . , en |
. Пусть |
α |
ei |
= 0 |
|
V |
|
, |
α , . . . , α |
|
|
K |
. Тогда, при лю- |
|||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
i n |
|
|
|||||||||||||
бом i j [1 |
: n], истинны равенства (αie i) (ej) |
|
= 0 V , то есть |
|||||||||||||||||||||||
αi(e (ej)) = 0 V , а это означает, что αiδj |
= αj = 0 K . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Чтобы доказать, что (e1, . . . , en) базис, покажем, что лю- |
||||||||||||||||||||||||||
бой функционал |
χ |
|
V |
имеет разложение |
χ = χ(e |
) ei |
. Введем |
|||||||||||||||||||
|
|
i |
|
i |
|
|||||||||||||||||||||
в рассмотрение обозначение |
|
|
|
= |
χ − χ(ei) e |
|
. Мы должны по- |
|||||||||||||||||||
казать, что |
|
|
= 0 V , а для этого достаточно показать, что |
|||||||||||||||||||||||
( i [1 : n]) (Δ(ei) = 0 V ), так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
( x V ) Δ(x) = 0 Δ(xiei) = 0 xiΔ(ei) = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||
При любом j [1 : n] получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Δ(ej) = χ(ej) − χ(ei) ei(ej) = χ(ej) − χ(ej) = 0 V |
|||||||||||||||||||||||||
так как ei(ej) = δji . Что и требовалось. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ei0 |
|
еще один базис в V , |
|||||||||||||||||||||||
liei |
V |
(li K), то li = l ei |
|
. Пусть |
|
|
||||||||||||||||||||
Итак, e1 |
, . . . , en |
базис в V и мы показали, что если l = |
||||||||||||||||||||||||
связанный с { |
|
i} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
формулами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e0 |
= αjej, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
209
Перейти к оглавлению на странице: 256
и используется обозначение |
|
|
|
|
|
|
A = αij |
|
= |
α11, . . . , α1n |
. |
||
|
1 |
· · · |
n |
|||
|
|
αn |
, . . . , αn |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как det A 6= 0, то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ej = α0ji ei0, |
|
(1.2) |
|||
при α0ji |
|
= A0 = A−1 . Отметим еще, что если V |
евклидово, |
|||||||||||
а |
базисы ортонормированы, то матрица A ортогональна, то есть |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
A |
|
= A |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
= |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Элементы каждого из дуальных базисов разложим по другому |
||||||||||||
базису: |
|
|
|
|
e0i = βiej |
βi |
|
K , |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
jj |
i |
jj |
|
|
(1.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
= β0i e0 |
|
β0i |
K . |
(1.4) |
Найдем βji , β0ji : для этого используем условие дуальности:
e0i (e0j) = δji . Расписывая его левую часть при помощи (1.1) и (1.3), получим связь между базисами:
βki ek αjmem |
= βki αjmek (em) = δji (т.к. ek (em) = δmk ) |
|||
βki δmk αjm = δji(т.к. βki δmk = βmi ) βmi αjm = δji |
|
|||
βmi = |
αjm −1 |
βmi = α0mi , β0mi = αmi |
|
|
|
|
|
e0i = α0ji ej, |
(1.5) |
|
|
|
ej = αije0i. |
(1.6) |
Теперь получим связь между координатами вектора из V в двух базисах, а также между координатами ковектора из V в двух дуальных базисах.
210
Перейти к оглавлению на странице: 256
Пусть x V, l V , а xi, x0i и li, l0i их координаты в {ei},
no
{e0i} и |
|
|
|
e0i соответственно. Тогда при помощи цепочки им- |
|||||||||||||||||
ei |
|
|
, |
|
|||||||||||||||||
пликаций выводим: |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i |
|
|
|
|
i |
|
i |
= x0i |
i |
j |
|
j |
|
|
|
ii |
|||||
i |
= x0 |
i |
e0i |
|
xie |
i |
αje = x0i |
αj |
e |
|
k |
i |
α |
k |
|||||||
x ei |
|
|
lie |
|
|
i |
j |
|
i |
|
j |
|
x = x0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= l0iα0je |
|
= l0iα0j e |
|
|
|
|
(1.7) |
||||||
lie = l0ie0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lk = l0iα0k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xiα0ije0j = x0ie0i |
|
x0k = xiα0ik |
|
|
|
|
|
|
(1.8) |
||||||||||||
liαji e0j |
= l0ie0i |
|
l0k = liαki |
|
|
|
|
|
|
§2. Два определения тензора и их эквивалентность
Первое определение тензора
Полилинейную (т.е. линейную по каждому аргументу) функцию T : V × . . . × V × V × . . . × V → R1 называют k раз ко-
| |
|
{z |
|
} | |
|
{z |
|
} |
|
|
k |
|
m |
|
|
вариантным, m раз контравариантным тензором или тензором
валентности k + m. Про такой тензор говорят, что он смешанный типа (k, m). Тензор типа (0, m) называют просто контравариантным, а типа (k, 0) ковариантным.
Координатное представление и второе определение тензора
Пусть {e1, . . . , en}, {e01, . . . , e0n} базисы векторного про-
|
|
|
|
n |
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
странства V , а |
e1, . . . , en |
, e01, . . . , e0n |
|
базисы (дуальные |
|||||||||||||
исходным) |
сопряженного векторного пространства V . Напомним, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что ei V |
определяютсяi |
какi |
линейные функционалыi |
на V |
та- |
||||||||||||
кие, что ( x Vi) |
e (x) = x , где x = x ei |
|
(равносильное опи- |
||||||||||||||
сание ei (ej) = δj). Пусть |
x |
V |
(вектор), |
l V |
(ковектор), а |
||||||||||||
соответственно.i i |
|
|
|
|
{ |
|
i} |
, |
{ |
i} |
|
|
|
n |
o |
||
xi, x0i и l , l0 |
их координаты в базисах |
|
e |
|
|
e0 |
и |
ei |
|
, |
e0i |
В §1 были рассмотрены следующие формулы, связывающие
211
Перейти к оглавлению на странице: 256
эти базисы и координаты (см. (1.1), (1.2), (1.5)-(1.8)):
(t1)e0 |
= eiαi , |
|
(t2)ek = e0 |
α0i |
, |
(t3)e0k = eiα0k |
, |
(t4)ek = e0iαk, |
|||
k |
k |
|
i |
k |
|
|
|
i |
|
|
i |
(t5)x0k = xiα0k |
, |
(t6)xk = x0iαk, |
(t7)l0 |
= liαi |
, |
|
(t8)lk = l0 |
α0i . |
|||
|
i |
|
|
i |
|
k |
k |
|
|
i |
k |
(2.1) Здесь какая-то из формул (t1) и (t2) считается исходной свя-
зью между базисами, остальные получены из нее. Матрицы
A = |
α1, . . . , αn |
|
и A0 = |
α01, . . . , α0n |
|
|
||||
1 |
· · · |
n |
1 |
· · · |
n |
|
||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
αn, . . . , αn |
α0n, . . . , α0n |
|
||||||||
взаимно обратны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ради простоты рассмотрим тензор типа (2, 1): |
|
|
|
|||||||
T (x, y, l) = T xiei,k yjej, lkekk = xiyj lkT ei, ej, ek .k |
(2.2) |
|||||||||
и обозначим T ei, ej, e |
, как Ti j . Система величин Ti j |
такова, |
||||||||
них зависит от: |
|
|
|
|
|
|
||||
что каждая из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выбора тензора (полилинейной функции T );
выбора базиса {ei} в V ;
выбора номеров у векторов основного базиса {ei} и ковекторов
дуального базиса ei (он перенумерован так же, как исходный). Эти величины Tikj называют координатами тензора (или его компонентами) в базисе {ei}. Перейдем к новому базису, исполь-
зуя формулы связи (2.1):
T (x, y, l) = T xiei, yjej, lkek = T x0ie0i, y0je0j, l0ke0k , |
(2.3) |
||
xi yj lk T ei, ej, ek |
= x0i y0j l0k T ei0, ej0 , e0k . |
(2.4) |
|
|
|
k |
: |
Получим связь Tikj = T |
ei, ej, ek |
с T 0i j = T ei0, ej0 , e0k |
T 0k |
= T e0 |
, e0 |
, e0k |
= |
i j |
i |
j |
|
|
(2.5)
= T emαim, epαjp, eqα0kq = αimαjpα0kq T (em, ep, eq) ,
212
Перейти к оглавлению на странице: 256
то есть
T 0k |
= αmαp |
α0kT q |
. |
(2.6) |
i j |
i j |
q m p |
|
|
Совершенно аналогично получаем:
T |
0j1j2...jm |
p1 |
pk |
α |
0j1 |
. . . α |
0jm q1...qm |
(2.7) |
i1i2...ik |
= αi1 |
. . . αik |
q1 |
qm Tp1...pk . |
Теперь можно дать другое определение тензора: говорят, что задан тензор типа (k, m), если в каждом базисе задан (упорядоченный) набор из nk+m чисел, причем любые два набора (в базисе {ei} и в базисе {e0i}) связаны формулами (2.7).
Равносильность двух определений тензора
(а)Пусть дан тензор в первом определении – как полилинейное отображение, тогда, как мы показали, каждой системе коор-
динат (базису {ei}) |
j1...jk |
, изме- |
можно сопоставить набор Ti1...ik |
няющийся при переходе к другому базису по формулам (2.7), то есть дан тензор во втором определении.
(б)Обратно, пусть даны наборы чисел в базисах, согласованные по (2.7).
|
|
|
|
j1...jm |
строим полилинейное |
||
В каком-то базисе с набором Ti1...ik |
|||||||
отображение T (тензор в первом определении) по формулам |
|
||||||
T (x, y, . . . ; l, . . .) = x |
i1 |
y |
i2 |
. . . lj1 |
j1...jm |
(2.8) |
|
|
|
. . . Ti1...ik . |
|||||
Остается показать, что если мы проделаем то же в другом |
|||||||
j1j2...jm |
(связанным с первым фор- |
||||||
базисе {ei0} с другим набором T 0i1i2...ik |
мулами (2.7)), то придем к тому же полилинейному отображению. Действительно, пусть аналогично предыдущему в базисе {e0i} опре-
делено полилинейное отображение T1 |
такое, что |
|
|
||||||
T1 |
(x, y, . . . ; l, . . .) = x0i1 y0i2 . . . l0j . . . T |
0j1...jm , |
(2.9) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
i1...ik |
|
тогда используя (2.7) и (2.1) получаем: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
T1 (x, y, . . . ; l, . . .) = |
|
|
|||
= x0i1 y0i2 . . . l0 |
. . . αp1 . . . αpk α0j1 . . . α0jm T q1...qm = |
(2.10) |
|||||||
|
|
|
j1 |
i1 |
ik |
q1 |
qm p1...pk |
|
|
p1 |
y |
p2 |
|
q1...qm |
|
|
|
|
|
= x |
|
. . . lq1 . . . Tp1...pk |
= T (x, y, . . . ; l, . . .) . |
|
213