- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ЧАСТЬ I. ПРОСТРАНСТВА И КООРДИНАТЫ
- •Аффинные пространства
- •Аффинные евклидовы пространства
- •Аффинные координаты и преобразования
- •Криволинейные координаты
- •Криволинейные системы координат
- •Локальные базисы
- •ЧАСТЬ II. КИНЕМАТИКА
- •Кинематика точки
- •Коэффициенты Ламе. Проекции скорости точки на оси криволинейной системы координат
- •Проекции ускорения точки на оси ортогональной криволинейной системы координат
- •Описание движения точки в естественных координатах
- •Определение кривизны траектории точки по движению
- •Два примера движения точки
- •Кинематика твердого тела
- •Движение механической системы. Твердое тело. Число степеней свободы положения. Аффинное пространство и координаты, связанные с твердым телом
- •Группа движений аффинного евклидова пространства
- •Поступательное движение твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Плоское движение твердого тела
- •Движение твердого тела вокруг неподвижной точки
- •Угловая скорость, формула Эйлера и движение твердого тела в общем случае
- •Сложное движение
- •Сложное движение точки. Основные понятия
- •Относительная производная
- •Теорема сложения скоростей в сложном движении точки
- •Теорема сложения ускорений в сложном движении точки
- •Теорема о сложении угловых скоростей в сложном движении твердого тела
- •ЧАСТЬ III. ДИНАМИКА
- •Уравнения движения и основные законы динамики механической системы
- •Принцип детерминированности и уравнение Ньютона
- •Инерциальные системы координат
- •Сила и масса. Второй и третий законы Ньютона
- •Законы сил
- •Две задачи динамики
- •Уравнения движения механической системы
- •Теорема об изменении главного вектора количества движения
- •Уравнение движения центра инерции
- •Кинетический момент относительно неподвижной точки и теорема о его изменении
- •Движение точки в центральном поле сил
- •Изменение кинетического момента, вычисляемого относительно подвижного полюса
- •Работа силы и изменение кинетической энергии материальной точки
- •Условия потенциальности силового поля
- •Кинетическая энергия системы и теорема Кенига
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •Движение точки в центральном поле сил (продолжение)
- •Динамика твердого тела
- •Масса и плотность. Геометрия масс
- •Основные законы динамики твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
- •Уравнения движения свободного твердого тела
- •Динамика точки с переменной массой
- •Уравнение Мещерского
- •Две задачи Циолковского
- •ЧАСТЬ IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
- •Общее уравнение механики
- •Cвязи, реакции. Обобщенные кооpдинаты
- •Изохронные ваpиации
- •Идеальные связи. Общее уравнение механики и принцип возможных перемещений
- •Общее уравнение механики в лагранжевых координатах
- •Уравнения Лагранжа
- •Уpавнения Лагpанжа II pода, их инваpиантность
- •Разрешимость уравнений Лагранжа II рода относительно старших производных
- •Обобщенный потенциал и уравнения Лагранжа II рода
- •Уравнения Лагранжа I рода и реакции идеальных связей
- •Канонические уравнения механики
- •Вывод канонических уравнений
- •Первые интегралы канонических уравнений
- •Метод Якоби решения канонических уравнений
- •Решение задачи о движении точки в центральном поле методом Якоби
- •Вариационные принципы механики
- •Дифференциальный принцип Даламбера-Лагранжа в декартовых переменных
- •Дифференциальный принцип Даламбера-Лагранжа в канонических переменных
- •Функционал и функция действия
- •Интегральный принцип наименьшего действия при изохронном варьировании (Принцип Гамильтона)
- •ЧАСТЬ V. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
- •Структуры и пространства
- •Группы, кольца, поля
- •Векторные пространства
- •Метрические пространства
- •Банаховы, гильбертовы и евклидовы пространства
- •Пространства Rn
- •Тензоры
- •Сопряженные пространства
- •Два определения тензора и их эквивалентность
- •Примеры тензоров
- •Алгебраические операции над тензорами
- •ЧАСТЬ VI. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАНЯТИЙ
- •Проверочные вопросы
- •Экзаменационные вопросы
- •Тесты
- •Упражнения
- •Литература
- •Предметный указатель
- •Оглавление
Перейти к оглавлению на странице: 256
об изменении кинетической энергии материальной точки). Непосредственным вычислением получаем равенство
~ |
2 |
dt, |
(13.15) |
dT = F d~r = −k~v d~r = −k~v~ dt = −kv |
|
||
то есть |
|
|
|
dT/dt = −k v2. |
|
|
(13.16) |
Это означает, что сила сопротивления среды вызывает рассеяние кинетической энергии движущейся материальной точки, это пример диссипативных сил. В отличие от них, потенциальные силы являются примером консервативных сил.
§14. |
Кинетическая энергия системы и теорема Кенига |
|
|
~ ~ ~ |
E |
3 |
|
Рассмотрим движение относительно репера (O, i, j, k) в |
|
механической системы из конечного числа точек Mj , имеющих мас-
Пусть |
j |
j |
|
j |
|
j |
| |
j| |
P |
|
сы mj и суммарную массу m = |
|
j mj . |
||||||||
|
~r |
,~v |
˙ |
|
v |
|
= ~v |
положение, скорость и величина |
||
|
= ~r , |
|
||||||||
скорости точки |
Mj , а |
~rc = m−1 |
j mj~rj , ~vc = ~r˙c , vc = |~vc| |
|||||||
положение, скорость и величина |
скорости центра масс C системы. |
|||||||||
|
P |
|||||||||
Кинетической энергией механической системы (в рассматри- |
||||||||||
|
|
|
~ ~ ~ |
|
) называют сумму кинетических энергий |
|||||
ваемом репере (O, i, j, k) |
составляющих механическую систему материальных точек, то есть величину
X
T = Tj, Tj = mjvj2/2. (14.1)
j
~~ ~
Врепере (C, i, j, k), движущемся поступательно вместе с цен-
|
~ ~ ~ |
|
тром масс C (относительно (O, i, j, k)), кинетическая энергия си- |
||
стемы равна |
|
|
Tc = Xj |
mj(~vj − ~vc)2/2. |
(14.2) |
|
Теорема 14.1. |
(Кениг) Величины |
T, Tc связаны равенством |
||
|
|
|
T = Tc + mv2 |
/2. |
(14.3) |
|
|
|
|||
|
|
|
c |
|
|
111
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейти к оглавлению на странице: 256 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Доказательство. |
Так как |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xj |
(mj~vj−mj~vc) = Xj |
mj~vj−Xj |
mj~vc = Xj |
mj~vj−m~vc = ~0, (14.4) |
||||||||||
то получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
T = 21 Pj mj ((~vj − ~vc) + ~vc)2 = |
|
(14.5) |
||||||||
|
|
= T |
c |
+ |
j |
(m ~v |
m ~v )~v + 1 mv2 = T |
c |
+ 1 mv2. |
||||||
|
|
|
|
|
|
j j |
j c c |
|
c |
|
c |
||||
|
|
Что и требовалосьP −доказать. |
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
§15. Теорема об изменении кинетической энергии системы
Здесь мы обобщим результаты §12 на случай механической системы из нескольких материальных точек и затем рассмотрим движение этой системы в предположении, что все силы имеют по-
тенциал (см. §13). |
|
|
|
~ ~ |
~ |
в E |
3 |
Рассмотрим движение относительно репера (O, i, j, k) |
|
механической системы из конечного числа точек Mj , имеющих массы mj и, как и в предыдущем пункте, обозначим символами ~rj, ~vj, vj, Tj , положение, скорость, величину скорости и кинетическую энергию точки Mj , а символом T кинетическую энергию всей механической системы.
Главные векторы внешних и внутренних сил, действующих
на материальную точку Mj , обозначим символами F~j |
и F~j0 соот- |
ветственно (см. §6), а символами Xj, Yj, Zj , Xj0, Yj0, Zj0 |
обозначим |
координаты этих векторов в рассматриваемом репере. Кроме то-
го, при t > t0 , будем использовать обозначения |
Mj,0 = Mj(t0), |
|||||
|
|
_ |
|
|
|
|
Mj |
= Mj(t), а символом Mj,0Mj |
обозначим дугу траектории меж- |
||||
ду этими положениями материальной точки Mj . |
|
|||||
|
Обратимся к дифференциальным уравнениям Ньютона дви- |
|||||
жения механической системы (см. (6.1)): |
|
|||||
|
|
d |
~ |
~ 0 |
|
|
|
mj |
|
~vj = Fj |
+ Fj. |
(15.1) |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
Используя эти уравнения по отдельности, для каждой точки |
|||||
Mj |
можно получить равенства, аналогичные равенствам (12.2) – |
112
Перейти к оглавлению на странице: 256
(12.6). Суммируя каждое из них по всем j получаем:
dT = δA + δ0A, δA = Xj |
F~j d~rj, δ0A = Xj |
F~j0 d~rj, |
||||
|
dT |
= Xj |
F~j~vj + Xj |
F~j0 ~vj, |
|
|
|
|
|
||||
|
dt |
|
T − T0 = A + A0,
(15.2)
(15.3)
Pj |
|
|
|
|
~ |
Mj,R0Mj |
|
|
|
|
|
||||
|
Mj,R0Mj |
|
|
(Xj dxj + Yj dyj + Zj dzj), |
|||||||||||
A = Aj |
, Aj = |
Fjd ~rj = |
|
||||||||||||
|
|
|
_ |
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
||
A0 = Aj0 , Aj0 = |
F~j0d ~rj = |
|
Xj0 |
dxj + Yj0 dyj + Zj0 |
dzj , |
||||||||||
Pj |
|
Mj,R0Mj |
|
|
Mj,R0Mj |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
_ |
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15.4) |
|
t |
~ |
|
|
|
|
Sj |
~ |
|
Sj |
|
~ |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
||||
Aj |
= |
|
Fj ~vj dt, Aj = |
|
|
Fj~τjdsj = |
Fj cos (Fj,~vj) dsj, |
||||||||
|
t0 |
|
|
|
|
|
Sj,0 |
|
Sj,0 |
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
|
Sj |
|
|
Sj |
|
|
|
|
|
Aj0 |
= |
|
F~j0 ~vj dt, Aj0 |
= |
|
R |
F~j0 ~τjdsj = |
Fj0 cos (F~j0 |
,~vj) dsj, |
||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
(15.5) |
|
|
t0 |
|
|
|
|
Sj,0 |
|
|
Sj,0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dA |
|
dA0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
N = |
|
|
+ |
|
|
= Xj |
F~j~vj + Xj |
F~j0 ~vj. |
|
(15.6) |
||
|
|
|
dt |
|
dt |
|
Обсудим эти равенства. Величина δA (величина δ0A) равна сумме элементарных работ главных векторов внешних (внутренних) сил, приложенных к точкам механической системы. Равенство (15.2) называют теоремой об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме. Первое из равенств (15.4) называют теоремой об изменении кинетической энергии механической системы в конечной (интегральной) форме.
Величину N называют мощностью и говорят, что мощность характеризует интенсивность выполнения работы A + A0 внутренними и внешними силами, действующими на точки механической
113
Перейти к оглавлению на странице: 256
системы. Используя понятие мощности и равенство (15.3) можно сказать, что производная кинетической энергии механической системы равна мощности работы, выполняемой главными векторами внешних и внутренних сил, действующих на все точки этой системы. Это еще одна формулировка теоремы об изменении кинетической энергии механической системы.
Формулы (15.5) дают возможность вычислять работы через определенные интегралы по времени и естественным координатам (каждая точка Mj имеет свою естественную координату sj ).
Теперь предположим, что существует вещественнозначная функция V такая, что
XX
~ |
~ 0 |
(15.7) |
Fjd ~rj + |
Fjd ~rj = dV, |
jj
тогда из формулы (15.2) получаем: |
|
T − V = h, |
(15.8) |
где h произвольная постоянная.
Функцию T −V называют интегралом механической энергии, а постоянную h называют постоянной механической энергии. Величину Π = −V называют потенциальной энергией механической системы.
Условие (15.7) выполнено, в частности, если все внешние си-
~ ~ 0
лы Fj и внутренние силы Fj потенциальны, то есть при любом j существуют вещественнозначные функции Uj, Uj0 такие, что ис-
~ ~ 0 0
тинны равенства Fj d ~rj = dUj , Fj d ~rj = dUj . В этом случае можно положить V = U + U0 при U = P P
§16. Движение точки в центральном поле сил (продолжение)
Здесь мы продолжим рассмотрение движения материальной
|
|
|
|
|
~ |
точки M массы m в центральном поле сил F (~r) относительно ре- |
|||||
~ ~ ~ |
3 |
. В §§10, 13 мы рассмотрели такой |
|||
пера (O, i, j, k) в пространстве E |
|
||||
случай и получили следующие результаты: |
|
||||
(a) Движение точки M удовлетворяет уравнению Ньютона: |
|||||
¨ |
|
~r |
|
||
m~r = δ |
· |
Φ(r) · |
|
, |
(16.1) |
r |
114
Перейти к оглавлению на странице: 256
где
−−→
~r = OM, r = |~r|
|
|
|
, Φ(r) = F~ (~r) , δ = ±1. |
(16.2) |
|
|
|
|
(b) Функция ~r × ~r˙ является первым интегралом уравнения (16.1) (интегралом площадей), то есть она удовлетворяет равенству:
˙ |
, c2, c3), |
(16.3) |
~r × ~r = ~c = (c1 |
где ~c = (c1, c2, c3) вектор, постоянный на каждом решении уравнения (16.1). Если x, y, z координаты радиус-вектора ~r, то векторное равенство (16.3) можно записать в виде следующих трех скалярных равенств:
yz˙ − yz˙ = c1, zx˙ − zx˙ = c2, xy˙ − xy˙ = c3, |
(16.4) |
6 ~
из которых следует, что если ~c = 0, то движение точки происходит в плоскости Лапласа c1x + c2y + c3z = 0, проходящей через центр сил O. Геометрическая интерпретация интеграла площадей дается теоремой 10.1.
(c) Центральное поле сил является потенциальным, причем потенциал и потенциальная энергия задаются формулами
Z
U(x, y, z) = (r) = ± Φ(r) dr, Π(x, y, z) = − (r), (16.5)
а функция (mv2/2) − (r) является первым интегралом уравнения (16.1) (интегралом энергии), то есть она удовлетворяет равенству
(mv2/2) − (r) = h, |
(16.6) |
где v = |~v| , ~v = ~r˙ , а величина h постоянна на каждом решении уравнения (16.1).
Эти результаты позволяют найти решение уравнения Ньютона (16.1) и описать возможные траектории точки в рассматриваемом случае ее движения в центральном поле сил.
~ ~ |
~ |
|
|
Репер (O, i, j, k) выберем так, чтобы выполнялось равенство |
|||
|
˙ |
~ |
(16.7) |
|
~r × ~r = ck |
115
|
Перейти к оглавлению на странице: 256 |
при c = |~c| |
~ |
(это означает, что мы полагаем k = ~c/c). В этом слу- |
~
чае плоскость Лапласа ортогональна вектору k , а множество точек этой плоскости можно описать формулой z = 0.
Движение точки M рассмотрим в плоскости Лапласа в ци-
линдрических координатах r, ϕ, z |
при z |
= 0. Так как в этих ко- |
||||||
|
|
˙ |
= |
|
r~˙τr + rϕ~˙τϕ (см. (1.12), главы 3), то |
|||
ординатах ~r = r~τr, ~r |
|
|||||||
˙ |
|
|
|
2 |
|
|
|
~ |
~r×~r = r~τr ×(r~˙τr +rϕ~˙τϕ) = r |
|
ϕ˙ (~τr ×~τϕ). Тогда, так как ~τr ×~τϕ = ±k , |
||||||
то из формулы (16.3) получаем равенство |
|
|||||||
|
|
|
|
|
r2ϕ˙ = σ, |
(16.8) |
||
где постоянная σ равна |
~c |
или |
|
~c в зависимости от знака вели- |
||||
чины ϕ˙ . Функцию r |
2 |
|
| | |
|
|
− | | |
|
|
|
ϕ˙ также называют интегралом площадей. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
на направление ~τr = ~r/r |
Так как проекция ускорения точки ~r |
полярного радиуса равна r¨−rϕ˙2 (см. (2.13) главы 3), то проектируя уравнение Ньютона (16.1) на это направление, получаем:
r¨ − rϕ˙2 − Ψ(r) = 0, Ψ(r) = Φ(r) · δ/m. |
(16.9) |
Используя здесь равенство (16.8), приходим к следующему уравнению относительно r:
r¨ − σ2r−3 − Ψ(r) = 0. |
(16.10) |
Для нахождения r(t), ϕ(t) можно сначала решить это уравнение, а затем решить уравнение (16.8) относительно ϕ(t). Отметим, что оба этих уравнения разрешимы в квадратурах.
Рассмотрим теперь важный частный случай движения материальной точки в центральном поле силы Ньютона. В этом случае функция Ψ задается формулой (см. (10.6)):
Ψ(r) = −χ2r−2, χ2 = γ(m0 + m). |
(16.11) |
Мы не будем заниматься решением соответствующего уравнения Ньютона во всех необходимых для практических расчетов подробностях, а изучим только, по каким траекториям (орбитам) может двигаться материальная точка в таком поле сил.
Если σ = 0, то из равенства (16.8) следует ϕ˙ = 0, а это означает, что движение рассматриваемой материальной точки M является прямолинейным.
116
Перейти к оглавлению на странице: 256
Пусть теперь σ 6= 0. От уравнения (16.10) перейдем к уравнению для величины % = r−1 как функции полярного угла ϕ. Используя для этого равенство (16.8), получаем:
r˙ = dtd %−1 = −%−2ϕ˙ dϕd% = −σ dϕd% ,
(16.12)
|
d |
|
2 |
2 |
|
r¨ = −σ |
dϕd% |
= −σϕ˙ dϕd %2 = −σ2%2 dϕd %2 . |
|||
dt |
Подставляя Ψ(r) = −χ2r−2 , r = %−1 и полученное выражение для r¨ в уравнение (16.10) и учитывая, что σ2%−2 > 0, получаем:
|
d2% |
|
|||
|
|
+ % − χ2σ−2 = 0. |
(16.13) |
||
|
dϕ2 |
||||
Решение этого уравнения дается формулой |
|
||||
% = B cos(ϕ − α) + χ2σ−2, |
(16.14) |
||||
где B, α произвольные постоянные. Поэтому получаем: |
|
||||
|
r = |
p |
(16.15) |
||
|
|
, |
|||
|
1 + e cos f |
где p = σ2χ−2, e = Bp, f = ϕ − α.
Как известно из аналитической геометрии, равенство (16.15) задает уравнение конического сечения в полярных координатах. Начало координат O (центр сил) есть фокус конического сечения. Величины p (0, +∞) и e [0, +∞) называют параметром и эксцентриситетом конического сечения, а f истинной аномалией. Истинная аномалия это угловое удаление материальной точки от ближайшей к притягивающему центру точки P траектории (орбиты), которую называют перицентром орбиты. Наиболее удаленную от притягивающего центра точку A орбиты (если такая точка существует) называют апоцентром орбиты.
Как известно, кроме уравнений прямых (которые нас сейчас не интересуют, так как прямолинейное движение в рассматриваемой задаче возможно только при σ = 0), уравнение (16.15) описывает три типа конических сечений при 0 6 e < 1 (эллипс), e = 1 (парабола) и e > 1(гипербола). Эта классификация орбит по величине эксцентриситета неудобна с практической точки зрения в
117
Перейти к оглавлению на странице: 256
случае, если определять тип орбиты необходимо по известным начальным данным (координатам и скоростям точки в некотором репере). Предпочтительнее в этом случае классификация по постоянной энергии
h = (mv2/2) − mχ2r−1, |
(16.16) |
так как она легко вычисляется по начальным данным.
Теорема 16.1. Условия e < 1, e = 1, e > 1 эквивалентны условиям h < 0, h = 0, h > 0 соответственно. Доказательство. Следует из равенства
|
h = −mχ2p−1(1 − e2)/2, |
(16.17) |
|||||
которое мы сейчас докажем. |
|
|
|
|
|||
Из равенства (16.15) получаем: |
|
|
|
|
|||
|
|
d% |
|
d% |
|
||
% = r−1 = p−1(1 + e cos f), |
|
= |
|
|
= −ep−1 sin f. |
(16.18) |
|
dϕ |
df |
||||||
Если v = ~r˙ , то v2 = r˙2 + r2ϕ˙2 |
(см. (1.13) главы 3), поэтому, |
||||||
используя первую |
из формул (16.12), формулу (16.18) и равенство |
||||||
p = σ2χ−2 , получаем: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
v2 = σ2 (d%/dϕ)2 + %2 = χ2p−1(1 + 2e cos f + e2). |
(16.19) |
Используя в (16.16) первое из равенств (16.18) и равенство (16.19), получаем равенство (16.17).
Что и требовалось доказать.
Упражнение 16.1. (см. [3], §9 главы 1) Исследуйте, по каким орбитам может двигаться материальная точка в поле силы Кулона и в поле силы Гука (см. §10).
118