- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ЧАСТЬ I. ПРОСТРАНСТВА И КООРДИНАТЫ
- •Аффинные пространства
- •Аффинные евклидовы пространства
- •Аффинные координаты и преобразования
- •Криволинейные координаты
- •Криволинейные системы координат
- •Локальные базисы
- •ЧАСТЬ II. КИНЕМАТИКА
- •Кинематика точки
- •Коэффициенты Ламе. Проекции скорости точки на оси криволинейной системы координат
- •Проекции ускорения точки на оси ортогональной криволинейной системы координат
- •Описание движения точки в естественных координатах
- •Определение кривизны траектории точки по движению
- •Два примера движения точки
- •Кинематика твердого тела
- •Движение механической системы. Твердое тело. Число степеней свободы положения. Аффинное пространство и координаты, связанные с твердым телом
- •Группа движений аффинного евклидова пространства
- •Поступательное движение твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Плоское движение твердого тела
- •Движение твердого тела вокруг неподвижной точки
- •Угловая скорость, формула Эйлера и движение твердого тела в общем случае
- •Сложное движение
- •Сложное движение точки. Основные понятия
- •Относительная производная
- •Теорема сложения скоростей в сложном движении точки
- •Теорема сложения ускорений в сложном движении точки
- •Теорема о сложении угловых скоростей в сложном движении твердого тела
- •ЧАСТЬ III. ДИНАМИКА
- •Уравнения движения и основные законы динамики механической системы
- •Принцип детерминированности и уравнение Ньютона
- •Инерциальные системы координат
- •Сила и масса. Второй и третий законы Ньютона
- •Законы сил
- •Две задачи динамики
- •Уравнения движения механической системы
- •Теорема об изменении главного вектора количества движения
- •Уравнение движения центра инерции
- •Кинетический момент относительно неподвижной точки и теорема о его изменении
- •Движение точки в центральном поле сил
- •Изменение кинетического момента, вычисляемого относительно подвижного полюса
- •Работа силы и изменение кинетической энергии материальной точки
- •Условия потенциальности силового поля
- •Кинетическая энергия системы и теорема Кенига
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •Движение точки в центральном поле сил (продолжение)
- •Динамика твердого тела
- •Масса и плотность. Геометрия масс
- •Основные законы динамики твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
- •Уравнения движения свободного твердого тела
- •Динамика точки с переменной массой
- •Уравнение Мещерского
- •Две задачи Циолковского
- •ЧАСТЬ IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
- •Общее уравнение механики
- •Cвязи, реакции. Обобщенные кооpдинаты
- •Изохронные ваpиации
- •Идеальные связи. Общее уравнение механики и принцип возможных перемещений
- •Общее уравнение механики в лагранжевых координатах
- •Уравнения Лагранжа
- •Уpавнения Лагpанжа II pода, их инваpиантность
- •Разрешимость уравнений Лагранжа II рода относительно старших производных
- •Обобщенный потенциал и уравнения Лагранжа II рода
- •Уравнения Лагранжа I рода и реакции идеальных связей
- •Канонические уравнения механики
- •Вывод канонических уравнений
- •Первые интегралы канонических уравнений
- •Метод Якоби решения канонических уравнений
- •Решение задачи о движении точки в центральном поле методом Якоби
- •Вариационные принципы механики
- •Дифференциальный принцип Даламбера-Лагранжа в декартовых переменных
- •Дифференциальный принцип Даламбера-Лагранжа в канонических переменных
- •Функционал и функция действия
- •Интегральный принцип наименьшего действия при изохронном варьировании (Принцип Гамильтона)
- •ЧАСТЬ V. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
- •Структуры и пространства
- •Группы, кольца, поля
- •Векторные пространства
- •Метрические пространства
- •Банаховы, гильбертовы и евклидовы пространства
- •Пространства Rn
- •Тензоры
- •Сопряженные пространства
- •Два определения тензора и их эквивалентность
- •Примеры тензоров
- •Алгебраические операции над тензорами
- •ЧАСТЬ VI. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАНЯТИЙ
- •Проверочные вопросы
- •Экзаменационные вопросы
- •Тесты
- •Упражнения
- •Литература
- •Предметный указатель
- •Оглавление
Перейти к оглавлению на странице: 256
ГЛАВА 10. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
§1. Уpавнения Лагpанжа II pода, их инваpиантность
Как и в предыдущих разделах, мы будем рассматривать здесь механическую систему из N материальных точек Mj массы mj, j [1 : N] и будем пользоваться аналогичными обозначениями. Все стесняющие движение системы связи предполагаем независимыми, голономными и идеальными. Символом s будем обозначать ее число степеней свободы положения, а символами q1, . . . , qs независимые обобщенные координаты, определяющие положение системы. Так как δq1, . . . , δqs независимы, то в общем уравнении механики (4.9) главы 9 можно положить δq1 6= 0, δq2 = . . . = δqs = 0, затем δq2 6= 0, δq1 = δq3 = . . . = δqs = 0 и т.д. Это приводит к системе из s обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
d ∂T |
− |
∂T |
− Qi = 0, i [1 : s], |
(1.1) |
||
|
|
|
|
|||
dt |
∂ q˙i |
∂ qi |
которые называют уравнениями Лагранжа второго рода. Общий порядок системы (1.1) равен 2s. Равенства (1.1) задают уравнения Лагранжа второго рода алгоритмически. Чтобы для конкретной механической системы выписать их явно, необходимо получить кинетическую энергию T и обобщенные силы Qi , i [1 : s] как функции аргументов q1, . . . , qs, q˙1, . . . , q˙s, t и подставить их в левую часть уравнений (1.1), произведя там необходимые дифференцирования.
Если все силы, действующие на точки механической системы имеют потенциал, то обобщенные силы можно вычислить по формуле (4.12) главы 9:
Qi = − |
∂Π(~x(q, t)) |
, i [1 : s], |
(1.2) |
∂qi |
где Π(~x) потенциальная энергия этой системы. Вводя в рассмотрение функцию Лагранжа (или кинетический потенциал)
L = T − Π |
(1.3) |
145
Перейти к оглавлению на странице: 256
и учитывая, что ∂Π(~x(q, t))/∂q˙i = 0, уравнения (1.1) можно переписать в следующем виде:
|
d ∂L |
− |
∂L |
= 0, i [1 : s]. |
(1.4) |
||
|
|
|
|
|
|||
dt |
∂ q˙i |
∂ qi |
Как видим, для того, чтобы выписать уравнения Лагранжа второго рода в случае потенциальных сил, достаточно составить для данной механической системы величину L как функцию аргументов q1, . . . , qs, q˙1, . . . , q˙s, t и подставить их в левую часть уравнений (1.4), произведя там необходимые дифференцирования.
Из способа вывода уравнений (1.1) и (1.4) следует, что они не изменяют своего алгоритмического вида при замене одних обобщенных координат на другие. Более специальным свойством является инвариантность уравнений Лагранжа относительно каких-то преобразований. Говорят, что уравнения Лагранжа второго рода (1.4)
(или (1.1)) инвариантны относительно какого-то класса преобразований, если каждое преобразование этого класса не изменяет функцию Лагранжа L (соответственно, кинетическую энергию T
иобобщенные силы Qi , i [1 : s]).
Вкачестве примера рассмотрим движение материальной точки в центральном силовом поле. Как мы знаем, сила, действующая на точку, имеет потенциал, причем (см. (13.13), глава 6):
Z
L = T − Π = (mv2/2) ± Φ(r)dr, (1.5)
где v модуль скорости точки, а r ее расстояние от центра сил. Так как v = |~v| и r = |~r|, то эти величины не изменяются при поворотах репера, то есть при ортогональных преобразованиях базиса этого репера. Поэтому уравнения Лагранжа второго рода, описывающие движение материальной точки в центральном поле сил инвариантны относительно класса ортогональных преобразований координат (то есть преобразований координат, соответствующих поворотам репера).
146
Перейти к оглавлению на странице: 256
§2. Разрешимость уравнений Лагранжа II рода относительно старших производных
Обыкновенные дифференциальные уравнения удобно исследовать и решать приближенно в том случае, когда они разрешены относительно старших производных. Мы покажем, что уравнения Лагранжа второго рода (1.1), (1.4) разрешимы относительно обобщенных ускорений q¨1, . . . , q¨s . Достаточно ограничиться рассмотрением уравнений (1.1), так как они более общие.
Рассмотрим кинетическую энергию механической системы в декартовых координатах:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T = |
|
|
|
|
Xj |
|
|
~v2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из второго равенства (1.3) главы 9 получаем: |
∂ t |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
T = 2 j=1 mj |
i=1 |
∂ qi |
|
q˙i + ∂ t k=1 |
|
∂ qk q˙k + |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
1 N |
|
s |
∂ ~r |
|
|
|
|
∂ ~r |
|
|
|
|
s |
|
|
∂ ~r |
|
|
∂ ~r |
|
|
||||||||||||||||
|
|
P |
|
P |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.2) |
|||
|
|
|
|
|
|
= T2 + T1 + T0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
где |
1 N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q˙i |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
T2 = |
|
|
|
s |
|
∂ ~r |
|
|
|
= |
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 j=1 mj |
i=1 |
|
∂ qi |
|
|
2 i,k=1 ai,kq˙iq˙k, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
∂ ~rj |
|
|
∂ ~rj |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a |
|
= a |
= m |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i,k |
|
|
k,i |
|
|
|
|
jP |
j |
∂ q |
i |
∂ q |
k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
s |
|
|
N |
|
|
∂ ~r ∂ ~r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 N |
|
∂ ~r |
|
2 |
||||||||||||||||
T1 = p=1 apq˙p, ap = j=1 mj ∂ qp |
|
∂ t , T0 = |
|
|
2 j=1 mj |
∂ t |
. (2.4) |
||||||||||||||||||||||||||||||
X |
|
|
X |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
j |
|
|
Учитывая формулы (2.2), (2.3), (2.4), уравнения Лагранжа (1.1) запишем в виде
s
X
ai,kq¨k = Bi, i [1 : s], |
(2.5) |
k=1
147
Перейти к оглавлению на странице: 256
где величины Bi не зависят от обобщенных ускорений q¨1, . . . , q¨s . Отсюда следует, что для доказательства разрешимости уравнений Лагранжа второго рода относительно обобщенных ускорений q¨1, . . . , q¨s достаточно доказать, что
det A 6= 0, A = (ai,k) |
i,ks |
=1. |
(2.6) |
|
|
|
|
При u = (u1, . . . , us), рассмотрим квадратичную форму
1 |
s |
|
||
X |
|
|||
T2(u) = |
|
|
(2.7) |
|
|
|
ai,kuiuk, |
||
2 |
||||
|
|
|
i,k=1 |
|
и применим к ней критерий Сильвестра для положительной определенности этой формы необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия:
a1,1 |
> 0, det |
a1,1 |
a1,2 |
> 0, . . . , det A > 0. |
(2.8) |
|
a2,1 |
a2,2 |
|||||
|
|
|
|
Таким образом, если доказать положительную определенность квадратичной формы T2 , то тем самым будет доказано, в частности, и неравенство (2.6). Так как (см. (2.3))
T2 |
(u) = 2 |
mj |
s |
∂ qi |
ui! |
2 |
(2.9) |
||
, |
|||||||||
|
1 |
N |
∂ ~r |
|
|
|
|||
|
|
|
|
X |
Xi |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
j=1 |
=1 |
|
|
|
|
то T2(u) > 0 при любых u, и нам остается доказать, что T2(u) = 0 только в случае u = 0. Докажем это от противного. Пусть при некотором u 6= 0 выполнено равенство T2(u) = 0. Тогда при таком u должны обратиться в ноль все суммы в скобках в равенстве (2.9), то есть
|
|
|
|
s |
∂ ~r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
j |
ui |
= 0, j [1 : N], |
(2.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∂ qi |
|||||
|
|
|
|
=1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s ∂ x |
3j−2 |
|
s |
∂ x |
|
s |
∂ x |
|
||
|
|
ui = 0, |
|
|
3j−1 |
ui = 0, |
3j |
ui = 0, j [1 : N]. |
||
=1 |
∂ qi |
=1 |
|
∂ qi |
∂ qi |
|||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
||
Xi |
|
|
Xi |
|
|
|
X |
|
(2.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
148