- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ЧАСТЬ I. ПРОСТРАНСТВА И КООРДИНАТЫ
- •Аффинные пространства
- •Аффинные евклидовы пространства
- •Аффинные координаты и преобразования
- •Криволинейные координаты
- •Криволинейные системы координат
- •Локальные базисы
- •ЧАСТЬ II. КИНЕМАТИКА
- •Кинематика точки
- •Коэффициенты Ламе. Проекции скорости точки на оси криволинейной системы координат
- •Проекции ускорения точки на оси ортогональной криволинейной системы координат
- •Описание движения точки в естественных координатах
- •Определение кривизны траектории точки по движению
- •Два примера движения точки
- •Кинематика твердого тела
- •Движение механической системы. Твердое тело. Число степеней свободы положения. Аффинное пространство и координаты, связанные с твердым телом
- •Группа движений аффинного евклидова пространства
- •Поступательное движение твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Плоское движение твердого тела
- •Движение твердого тела вокруг неподвижной точки
- •Угловая скорость, формула Эйлера и движение твердого тела в общем случае
- •Сложное движение
- •Сложное движение точки. Основные понятия
- •Относительная производная
- •Теорема сложения скоростей в сложном движении точки
- •Теорема сложения ускорений в сложном движении точки
- •Теорема о сложении угловых скоростей в сложном движении твердого тела
- •ЧАСТЬ III. ДИНАМИКА
- •Уравнения движения и основные законы динамики механической системы
- •Принцип детерминированности и уравнение Ньютона
- •Инерциальные системы координат
- •Сила и масса. Второй и третий законы Ньютона
- •Законы сил
- •Две задачи динамики
- •Уравнения движения механической системы
- •Теорема об изменении главного вектора количества движения
- •Уравнение движения центра инерции
- •Кинетический момент относительно неподвижной точки и теорема о его изменении
- •Движение точки в центральном поле сил
- •Изменение кинетического момента, вычисляемого относительно подвижного полюса
- •Работа силы и изменение кинетической энергии материальной точки
- •Условия потенциальности силового поля
- •Кинетическая энергия системы и теорема Кенига
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •Движение точки в центральном поле сил (продолжение)
- •Динамика твердого тела
- •Масса и плотность. Геометрия масс
- •Основные законы динамики твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
- •Уравнения движения свободного твердого тела
- •Динамика точки с переменной массой
- •Уравнение Мещерского
- •Две задачи Циолковского
- •ЧАСТЬ IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
- •Общее уравнение механики
- •Cвязи, реакции. Обобщенные кооpдинаты
- •Изохронные ваpиации
- •Идеальные связи. Общее уравнение механики и принцип возможных перемещений
- •Общее уравнение механики в лагранжевых координатах
- •Уравнения Лагранжа
- •Уpавнения Лагpанжа II pода, их инваpиантность
- •Разрешимость уравнений Лагранжа II рода относительно старших производных
- •Обобщенный потенциал и уравнения Лагранжа II рода
- •Уравнения Лагранжа I рода и реакции идеальных связей
- •Канонические уравнения механики
- •Вывод канонических уравнений
- •Первые интегралы канонических уравнений
- •Метод Якоби решения канонических уравнений
- •Решение задачи о движении точки в центральном поле методом Якоби
- •Вариационные принципы механики
- •Дифференциальный принцип Даламбера-Лагранжа в декартовых переменных
- •Дифференциальный принцип Даламбера-Лагранжа в канонических переменных
- •Функционал и функция действия
- •Интегральный принцип наименьшего действия при изохронном варьировании (Принцип Гамильтона)
- •ЧАСТЬ V. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
- •Структуры и пространства
- •Группы, кольца, поля
- •Векторные пространства
- •Метрические пространства
- •Банаховы, гильбертовы и евклидовы пространства
- •Пространства Rn
- •Тензоры
- •Сопряженные пространства
- •Два определения тензора и их эквивалентность
- •Примеры тензоров
- •Алгебраические операции над тензорами
- •ЧАСТЬ VI. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАНЯТИЙ
- •Проверочные вопросы
- •Экзаменационные вопросы
- •Тесты
- •Упражнения
- •Литература
- •Предметный указатель
- •Оглавление
Перейти к оглавлению на странице: 256
где k положительная постоянная (коэффициент сопротивления среды), зависящая от среды и тела, а ~v скорость движения тела относительно среды.
~
Силу F , действующую на тело в его поступательном движении (не обязательно прямолинейном), задают формулой
~ |
(4.8) |
F = −kS~v, |
где S площадь фигуры (проекции тела на плоскость перпендикулярную ~v ).
§5. Две задачи динамики
Первая задача динамики (обратная задача) заключается в построении уравнений движения механических систем, состоящих из материальных точек и/или твердых тел, по заданным их движениям и/или свойствам движений в E3 (но, надо отметить, не обязательно в инерциальной системе координат). Законы сил, приведенные в §4 получены в результате решения подобных задач. В частности, задача Ньютона, результатом решения которой явился закон всемирного тяготения, состоит в определении силы, под действием которой планеты (материальные точки) совершают движения вокруг Солнца (материальной точки), удовлетворяющие следующим свойствам (законам Кеплера):
– орбиты (траектории движения) планет являются эллипсами, в одном из фокусов которых находится Солнце;
– секторные скорости планет постоянны (если Φ фокус эллипса,
−−−−→
в котором расположено Солнце, а ~r(t) = ΦM(t) радиус-вектор планеты M(t) в момент t > t0 , то ее секторной скоростью назы-
~ |
~ |
˙ |
вают вектор Σ(t) = l |
· S(t), где S(t) площадь фигуры, лежа- |
щей в плоскости эллипса между векторами ~r(t0) и ~r(t) и дугой
_
~
M(t0)M(t) эллипса, а единичный вектор l, ортогональный плоско-
˙ |
|
˙ |
|
сти эллипса, равен ~r(t) × ~r(t) / ~r(t) × ~r(t) ; |
|
||
– квадраты периодов движения планет |
по своим |
эллипсам пропор- |
|
циональны кубам больших полуосей |
этих эллипсов. |
Обратные задачи динамики составляют специальный раздел аналитической динамики.
93
Перейти к оглавлению на странице: 256
Вторая задача динамики (прямая задача) состоит в определении движений механической системы по известным силам. Применительно к случаю механической системы, состоящей из одной материальной точки, эта задача состоит в нахождении ее движения
|
|
|
~ |
˙ |
и сводится к |
~r(t) по известной действующей на нее силе F (~r, ~r, t) |
|||||
решению задачи Коши: |
|
|
|
|
|
¨ |
~ |
˙ |
|
|
(5.1) |
m~r = F (~r, ~r, t), |
|
|
|||
~r(t0) = ~r0, |
˙ |
˙ |
|
(5.2) |
|
~r(t0) = ~r0. |
|
Задача (5.1), (5.2) (и, тем более, аналогичные задачи для более сложных механических систем), как правило, не разрешается в виде суперпозиции элементарных и других специальных функций математического анализа, поэтому для ее решения применяют приближенные методы (численные и аналитические), а для исследования свойств решений используют качественные методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
§6. Уравнения движения механической системы
Здесь термином механическая или материальная система мы называем конечное множество материальных точек.
Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называют внутренними силами. Силы, действующие на материальные точки системы, вызванные материальными объектами, не входящими в состав рассматриваемой механической системы, называют внешними силами. Геометрическую сумму всех внешних (внутренних) сил, действующих на материальную точку, называют главным вектором внешних (внутренних) сил, действующих на эту точку. Главные векторы внешних и внутренних сил, действующих на материальную точку Mj , обозначим символами
~ ~ 0
Fj и Fj соответственно, а массу этой точки обозначим mj . Выписывая для всех точек механической системы уравнение
Ньютона (5.1) получаем систему обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений |
|
|
|
|
|
|
¨ |
~ |
˙ |
~ 0 |
˙ |
, . . . , t), |
(6.1) |
mj~rj = Fj(~r1 |
, . . . , ~r1 |
, . . . , t) + Fj |
(~r1, . . . , ~r1 |
94
Перейти к оглавлению на странице: 256
которые называют уравнениями движения механической системы.
Эти уравнения определяют движение механической системы
впространстве E3 , но, как уже отмечалось в §5, не обязательно
винерциальной системе координат. Хотя существование инерциальных систем координат и рассмотрение движений относительно них и составляет важнейшую часть механики Ньютона, это никак не исключает возможности и полезности изучения движений
вдругих реперах, перемещающихся ускоренно относительно инерциальной системы. Например, движение Солнечной системы можно рассматривать в инерциальной системе координат, связанной с "неподвижными"звездами и, с другой стороны, движение спутника Земли естественно рассмотреть относительно репера с началом
в"центре"Земли. От записи уравнения (6.1) относительно одного репера можно перейти к его записи относительно другого репера при помощи соответствующей замены переменных.
Сдругой стороны, очевидно, что не всякая замена переменных
в(6.1) сохранит такой вид этих уравнений. В этой связи отметим, что когда говорят об уравнениях Ньютона, то имеют в виду именно уравнения (6.1), описывающие движение механической системы
впространстве E3 , но не обязательно в инерциальной системе координат. Как в случае инерциальной, так и в случае неинерциальной системы координат, запись уравнений движения механической системы в виде (6.1) предполагает выполнение второго и третьего закона Ньютона. Это предположение является неотемлемой составной частью механики Ньютона.
Ради экономии места, далее вместо громоздких обозначений
~ ˙ ~ 0 ˙
Fj(~r1, . . . , ~r1, . . . , t), Fj(~r1, . . . , ~r1, . . . , t) мы часто будем использо-
~ ~ 0
вать обозначения Fj, Fj соответственно.
§7. Теорема об изменении главного вектора количества движения
Кроме обозначений §6, введем в рассмотрение векторы
X X X
~ ~ ~ 0 ~ 0 ~
F = Fj, F = Fj, Q = mj~vj, (7.1)
j j j
где ~vj = ~r˙j скорость точки Mj . Эти векторы называют глав-
95
Перейти к оглавлению на странице: 256
ным вектором внешних сил, главным вектором внутренних сил и главным вектором количества движения механической системы соответственно.
Согласно третьему закону Ньютона, любой внутренней силе механической системы отвечает другая внутренняя сила, уравно-
~ 0 ~
вешивающая первую, поэтому F = 0.
Теорема 7.1. Если использовать обозначения (7.1), то истинны формулы:
~ |
t |
F~ dt. |
(7.2) |
dt |
= F~ , dQ~ = F~ dt, Q~ − Q~ 0 = Zt0 |
||
dQ |
|
|
|
Доказательство. Ясно, что в (7.2) представлены три равносиль-
ных варианта записи одной и той же формулы, а первую из формул мы получим, если просуммируем уравнения (6.1) по всем j и учтем,
что F~ 0 = ~0. |
|
|
|
|
|
|
Что и требовалось. |
|
|
|
|||
|
|
|
||||
~ |
|
t |
~ |
|
|
|
Векторы F dt, |
t0 |
F dt называют элементарным импульсом |
||||
силы и импульсом |
силы (на промежутке [t |
|
, t]) соответственно, по- |
|||
R |
|
|
0 |
|
|
этому теорему 7.1 можно сформулировать в любом из следующих вариантов:
–производная главного вектора количества движения механической системы равна главному вектору сил;
–дифференциал главного вектора количества движения механической системы равен элементарному импульсу силы;
–приращение главного вектора количества движения механической системы равно импульсу силы.
§8. Уравнение движения центра инерции
Центр масс (или центр инерции) это точка C , радиусвектор ~rC которой (относительно некоторой точки O) определяется формулой:
XX
m~rC = |
mj~rj, m = mj, |
(8.1) |
j |
j |
|
где ~rj радиус-вектор точки Mj относительно точки O.
96