- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ЧАСТЬ I. ПРОСТРАНСТВА И КООРДИНАТЫ
- •Аффинные пространства
- •Аффинные евклидовы пространства
- •Аффинные координаты и преобразования
- •Криволинейные координаты
- •Криволинейные системы координат
- •Локальные базисы
- •ЧАСТЬ II. КИНЕМАТИКА
- •Кинематика точки
- •Коэффициенты Ламе. Проекции скорости точки на оси криволинейной системы координат
- •Проекции ускорения точки на оси ортогональной криволинейной системы координат
- •Описание движения точки в естественных координатах
- •Определение кривизны траектории точки по движению
- •Два примера движения точки
- •Кинематика твердого тела
- •Движение механической системы. Твердое тело. Число степеней свободы положения. Аффинное пространство и координаты, связанные с твердым телом
- •Группа движений аффинного евклидова пространства
- •Поступательное движение твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Плоское движение твердого тела
- •Движение твердого тела вокруг неподвижной точки
- •Угловая скорость, формула Эйлера и движение твердого тела в общем случае
- •Сложное движение
- •Сложное движение точки. Основные понятия
- •Относительная производная
- •Теорема сложения скоростей в сложном движении точки
- •Теорема сложения ускорений в сложном движении точки
- •Теорема о сложении угловых скоростей в сложном движении твердого тела
- •ЧАСТЬ III. ДИНАМИКА
- •Уравнения движения и основные законы динамики механической системы
- •Принцип детерминированности и уравнение Ньютона
- •Инерциальные системы координат
- •Сила и масса. Второй и третий законы Ньютона
- •Законы сил
- •Две задачи динамики
- •Уравнения движения механической системы
- •Теорема об изменении главного вектора количества движения
- •Уравнение движения центра инерции
- •Кинетический момент относительно неподвижной точки и теорема о его изменении
- •Движение точки в центральном поле сил
- •Изменение кинетического момента, вычисляемого относительно подвижного полюса
- •Работа силы и изменение кинетической энергии материальной точки
- •Условия потенциальности силового поля
- •Кинетическая энергия системы и теорема Кенига
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •Движение точки в центральном поле сил (продолжение)
- •Динамика твердого тела
- •Масса и плотность. Геометрия масс
- •Основные законы динамики твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
- •Уравнения движения свободного твердого тела
- •Динамика точки с переменной массой
- •Уравнение Мещерского
- •Две задачи Циолковского
- •ЧАСТЬ IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
- •Общее уравнение механики
- •Cвязи, реакции. Обобщенные кооpдинаты
- •Изохронные ваpиации
- •Идеальные связи. Общее уравнение механики и принцип возможных перемещений
- •Общее уравнение механики в лагранжевых координатах
- •Уравнения Лагранжа
- •Уpавнения Лагpанжа II pода, их инваpиантность
- •Разрешимость уравнений Лагранжа II рода относительно старших производных
- •Обобщенный потенциал и уравнения Лагранжа II рода
- •Уравнения Лагранжа I рода и реакции идеальных связей
- •Канонические уравнения механики
- •Вывод канонических уравнений
- •Первые интегралы канонических уравнений
- •Метод Якоби решения канонических уравнений
- •Решение задачи о движении точки в центральном поле методом Якоби
- •Вариационные принципы механики
- •Дифференциальный принцип Даламбера-Лагранжа в декартовых переменных
- •Дифференциальный принцип Даламбера-Лагранжа в канонических переменных
- •Функционал и функция действия
- •Интегральный принцип наименьшего действия при изохронном варьировании (Принцип Гамильтона)
- •ЧАСТЬ V. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
- •Структуры и пространства
- •Группы, кольца, поля
- •Векторные пространства
- •Метрические пространства
- •Банаховы, гильбертовы и евклидовы пространства
- •Пространства Rn
- •Тензоры
- •Сопряженные пространства
- •Два определения тензора и их эквивалентность
- •Примеры тензоров
- •Алгебраические операции над тензорами
- •ЧАСТЬ VI. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАНЯТИЙ
- •Проверочные вопросы
- •Экзаменационные вопросы
- •Тесты
- •Упражнения
- •Литература
- •Предметный указатель
- •Оглавление
Перейти к оглавлению на странице: 256
Теорема 10.1. Пусть материальная точка M(t) массы m
движется в центральном поле сил с центром сил O E3 и
−−−−→
пусть ~r(t) = OM(t) радиус-вектор этой точки. Тогда, если
~
Σ(t) секторная скорость точки M(t), то:
Σ(~ t) = |
1 |
~r(t) × ~r˙(t) = |
1 |
· ~c, |
(10.16) |
||
2 |
|
2 |
|
где ~c постоянная площадей в равенстве (10.13).
Доказательство. Так как второе из равенств в (10.16) совпадает с равенством (10.13), то нам остается доказать первое из них.
Пусть h > 0 и используются обозначения: |
|
|
|
|||||||||||||
h~r(t) = ~r(t + h) − ~r(t), |
|
hS(t) = S(t + h) − S(t). |
(10.17) |
|||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hS(t) = 21 |~r(t) × h~r(t)| + o(h)(h → 0), |
|
|
|
|||||||||||||
~l = ~r(t) × ~r˙(t) / |
~r(t) × ~r˙ |
(t) . |
|
|
|
(10.18) |
||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
hS(t) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
S(t~ |
h˙→0 |
|
|
|
|
= |
2 |
|
˙ |
× |
~r(t) |
, |
(10.19) |
|||
|
~h |
1 |
|
|||||||||||||
|
) = lim |
|
|
l = 2 |
|
~r(t) |
|
|
|
|||||||
|
Σ(t) = S(t) |
|
~r(t) |
|
~r(t) . |
|
|
|||||||||
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
Что и требовалось доказать.
§11. Изменение кинетического момента, вычисляемого относительно подвижного полюса
Нам потребуется вспомнить здесь некоторые старые обозначения и ввести ряд новых. Из старых обозначений нам потребуются те, которые использовались в §10, а также радиус-вектор цен-
тра масс системы ~rc = m−1 |
j mj~rj , m = |
j mj и главный век- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
m ~v |
Символами ~r ,~v |
|
, w~ |
|
||
|
|
|
|
|
Q = |
|
j |
A |
A |
|||||
тор ее количества движенияP |
|
j |
j . P |
A |
|
|
||||||||
|
радиус-вектор, скорость и ускорение некоторой точки |
|||||||||||||
обозначим |
|
|
3 |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = A(t) E |
|
, движущейся относительно некоторого репера с на- |
||||||||||||
чалом в точке O, и введем в рассмотрение величины: |
|
|
|
|
||||||||||
M~ A = Xj |
(~rj − ~rA) × F~j, K~ A = Xj |
(~rj − ~rA) × mj(~vj − ~vA), |
(11.1) |
103
Перейти к оглавлению на странице: 256
вектор-функции ~ A, ~ A называют главным моментом соответ-
M K
ственно внешних сил и количества движения механической системы относительно подвижного полюса A. Последний вектор называют также кинетическим моментом механической системы
относительно подвижного полюса A.
Теорема 11.1. (Об изменении кинетического момента)
Производная кинетического момента механической системы относительно подвижного полюса A и ее главный момент внешних сил относительно того же полюса связаны равенством:
|
d |
~ |
~ |
|
|
dt |
KA + m(~rc − ~rA) × w~A = MA, |
(11.2) |
где ~ A, ~ A определяются по формулам (11.1), ~rc радиус-
M K
вектор центра масс системы, а ~rA, w~A радиус-вектор и ускорение полюса A.
Доказательство. Так как
|
|
|
~ |
~ |
|
|
P |
|
|
A |
|
|
|
|
|
c |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KA = K − |
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
(11.3) |
||||||||||
|
|
|
~ |
j mj~rj × ~vA − |
~rA |
j mj(~vj − ~vA) = |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
× |
~ |
− |
m(~r |
− |
~rA) |
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
K − |
~r |
Q |
~vA, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
то, подставляя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
K = KA |
+ ~rA × Q + m(~rc − ~rA) × ~vA |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в равенство |
|
dt |
K = M (см. (9.3)), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
KA = M −~vA × Q |
− |
~rA × Q − m~vc ×~vA − m(~rc −~rA) × w~A. (11.5) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
˙ |
Pj |
~ |
|
|
|
|
|
|
Используя здесь формулы |
|
= |
~r |
|
~ |
, m~v |
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
, Q = |
F |
|
|||||||||||||||||||
Q~ , получаем равенство (11.2). |
|
M |
|
Pj |
j |
× |
j |
|
j |
|
c |
|
Что и требовалось доказать.
Следствие 11.1. Если при любом t полюс A = A(t) совпадает с центром масс системы или движется прямолинейно и равномерно, то равенство (11.2) становится таким же по форме, как равенство (9.3).
104
Перейти к оглавлению на странице: 256
Упражнение 11.1. Докажите, что
X
~ c = (~rj ~rc) mj~vj. (11.6)
K − ×
j
~
Указание: При любом векторе P , не зависящем от j , истинно равенство
X
~ |
~ |
(11.7) |
mj(~rj − ~rc) × P |
= 0. |
j
105
Перейти к оглавлению на странице: 256
§12. Работа силы и изменение кинетической энергии материальной точки
Рассмотрим уравнение движения в E3
~
M массы m, на которую действует сила F :
d~v |
~ |
|
m |
|
= F . |
dt |
материальной точки
(12.1)
Пусть v = |~v|, а T = mv2/2 кинетическая энергия материальной точки M . Умножая уравнение (12.1) скалярно на d~r, получаем равенство:
~ |
(12.2) |
dT = F d~r. |
Мы получили, что дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе главного вектора сил, приложенных к этой точке. Равенство (12.2) называют теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме.
Вместо равенства (12.2), записанного в терминах бесконечно малых величин, можно получить равенство относительно конечных величин, умножив скалярно равенство (12.1) на ~v или разделив равенство (12.2) на dt:
dT |
~ |
|
dt |
= F~v. |
(12.3) |
|
|
_ |
Пусть M0 = M(t0), M = M(t) при t > t0 , а M0M дуга траектории между этими положениями рассматриваемой материальной точки. Символами X, Y, Z обозначим координаты вектора
~ ~
F в рассматриваемом репере (их называют компонентами силы F в этом репере).
Считая траекторию точки и силу на траектории кусочно-
гладкими и взяв криволинейный интеграл от равенства (12.2) по
_
дуге M0M , получаем:
ZZ
T − T0 = A, A = |
~ |
_ (Xdx + Y dy + Zdz), (12.4) |
_ F d~r = |
||
|
M0M |
M0M |
106