2.2 Перевод целых чисел из системы счисления с основанием s в десятичную систему счисления.

Число, записанное в позиционной системе счисления с любым основанием, переводится в десятичную систему счисления по указанному выше правилу (1):

Если, например, 45₈ – число, записанное в восьмеричной системе счисления, то

45₈=4*8¹+5*8 ⁰=4*8+5*1=32+5=37₁₀

Число 203₅ записано в пятеричной системе счисления, тогда

203₅=2*5²+0*5¹+3*5⁰=2*25+0*5+3*1=50+0+3=53₁₀

Меняется только основание системы счисления, алгоритм остается неизменным.

Основание позиционной системы счисления в ней самой всегда записывается как 10; например, в двоичной системе счисления 10₂ означает число 2₁₀, а в восьмеричной 10₈ означает число 8₁₀.

Чтобы легче осуществлять перевод из системы счисления по любому основанию в десятичную, следует для начала явно пронумеровать разряды исходного числа справа налево, начиная с 0 (см. рисунок 3).

Двоичная система счисления

Двоичная (бинарная) система счисления имеет основание 2. Ее алфавит – цифры 0 и 1. Для перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную также справедливо правило (1). Представим в десятичном виде число 1101₂, или, что то же самое, &1101 (& - амперсант, - этим символом принято указывать то, что следующая за ним запись двоичная).

1101₂=1*2 ³+1*2 ²+0*2 ¹+1*2 ⁰=1*8+1*4+0*2+1*1=13₁₀

Рис. 3. Перевод числа из двоичной СС в десятичную.

Но двоичная система имеет некоторые удобные особенности, т.к. коэффициентами при степенях двойки в ней могут быть только либо нули (и тогда можно просто игнорировать разряд числа, имеющий значение «0»), либо единицы (умножение на «1» также можно опустить).

Т.е. достаточно просуммировать «два в соответствующей степени» только в тех позициях двоичного числа, в которых находятся единицы. Степень же, в которую нужно возводить число 2, равна номеру позиции.

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 2. Степени числа 2

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

или

11101000₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ = 128 + 64 + 32 + 8 = 232₁₀

Аналогично переводят восьмеричное и шестнадцатеричное число в десятичное:

При переводе удобно пользоваться соответствующими таблицами степеней чисел 8 и 16:

Таблица 3. Степени числа 8

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6
	1	8	64	512	4096	32768	262144

Таблица 4. Степени числа 16

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6
	1	16	256	4096	65536	1048576	16777216