САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СЕРВИСА И ЭКОНОМИКИ

КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Лекция № _________

по дисциплине высшая математика

Исследование функций

Специальности: 260501.65 (271200), 080401.65 (351100)

Учебная цель: формировать знания об исследовании функций и построении графиков функций.

Учебные вопросы:

1. Возрастание, убывание, экстремум функции.

2. Исследование функции на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

3. Асимптоты.

4. Общий план исследования функции.

Литература:

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. М.: Айрис-пресс, 2007. Глава 5, § 25.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. Т.1, гл.5.

3. Конспект лекций.

Санкт – Петербург

2011

Вопрос 1. Возрастание, убывание, экстремум функции.

Пусть дана функция .

Т еорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную по крайней мере в интервале . Для того, чтобы функция на отрезке была неубывающей (невозрастающей), необходимо и достаточно выполнение условия для всех точек .

Пример

Исследовать на возрастание и убывание функцию .

Решение.

Найдем производную , при .

+ – + у

х

–1 0 1 у

Итак, функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , включая и саму точку .

Определение. Функция во внутренней точке области определения имеет локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки , в которой наибольшее (наименьшее) среди значений этой функции, т.е. для всех х из указанной окрестности.

Точка называется точкой максимума или минимума, а значение функции в этой точке максимумом или минимумом функции и обозначается:

.

Термин «локальный» (относительный) экстремум обусловлен тем, что введенное понятие экстремума связано с окрестностью данной точки в области определения, а не со всей этой областью. В дальнейшем слово «локальный» будем для краткости опускать.

Необходимые условия экстремума.

Т еорема. Если функция в точке имеет локальный экстремум, то она в этой точке либо не дифференцируема, либо имеет в этой точке производную, равную нулю .

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными.

Точки, в которых и точки, в которых функция не дифференцируема, называются критическими.

Достаточные условия экстремума.

1-ый достаточный признак

Т еорема 1. Пусть для функции точка является критической и пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , исключая может быть точку , в которой она непрерывна. Тогда, если при переходе через точку производная меняет знак, то функция в точке имеет локальный экстремум. Если при этом знак меняется с «+» на « – », то в точке имеет локальный максимум; если же знак меняется с « – » на « + », то в точке имеет локальный минимум.

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение: .

.

+ – + у

х

–1 0 1 у

– точка максимума, ,

– точка минимума, .