Вопрос 2. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.
Пусть кривая задана уравнением и пусть функция в точке имеет конечную производную , т.е. в точке существует касательная к данной кривой, не параллельная оси оу (ибо угловой коэффициент ее конечен).
у у М0
М0
0 х 0 х
Определение. Будем говорить, что график функции , дифференцируемой на интервале , является выпуклым (вогнутым), если график этой функции в пределах интервала лежит не выше (не ниже) любой своей касательной.
Теорема. Если функция имеет на интервале конечную вторую производную и если эта производная положительна (отрицательна ) всюду на этом интервале, то кривая на интервале вогнута (кривая выпукла).
Пример. Найти участки выпуклости и вогнутости кривой .
Решение. ,
при , значит, кривая вогнута на ,
при , значит, кривая выпукла на .
Определение. Точка называется точкой перегиба кривой , если существует окрестность точки такая, что при из этой окрестности выпуклость кривой направлена в одну сторону, а при – в противоположную.
Т еорема (Необходимый признак точки перегиба).
Точка может быть точкой перегиба кривой только если или не существует.
Т еорема (достаточный признак точки перегиба).
Пусть функция в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , имеет непрерывную вторую производную. Если в точке равна нулю или не существует и при переходе через точку производная меняет свой знак, то точка есть точка перегиба кривой .
Пример. Найти точки перегиба кривой .
Решение: .
; при , при , – абсцисса т.п., т.п. (сделать рисунок).
Вопрос 3. Асимптоты.
Определение. Прямая L называется асимптотой кривой , если при удалении точки М кривой в бесконечность (т.е. расстояние этой точки от начала координат неограниченно возрастает) расстояние от этой точки до прямой L стремится к нулю. (Асимптоты бывают 3-х видов)
Вертикальные асимптоты.
Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений
или
равно или .
Таким образом, для нахождения вертикальных асимптот надо найти все точки разрыва 2-го рода данной функции. Если точек разрыва нет, то нет и вертикальных асимптот.
Пример: Кривая имеет вертикальную асимптоту , так как
, .
2. Наклонные асимптоты.
Пусть прямая является асимптотой графика функции . Такую асимптоту называют наклонной.
Т еорема. Для того, чтобы график функции имел при наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали оба предела:
(*).
Пример. Найти асимптоты кривой .
Решение.
у
1
0 1 х
|
Для данной кривой – вертикальная асимптота. , , следовательно, уравнение наклонной асимптоты: . |
3. Горизонтальные асимптоты.
Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты, когда .
Чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функции, надо отыскать пределы:
.
Если эти пределы конечные и различные, то прямые будут горизонтальными асимптотами. Если какой-либо из этих пределов не существует или равен , то нет и соответствующей асимптоты.
Пример 1. Найти горизонтальные асимптоты кривой .
Решение.
, , следовательно, – уравнение горизонтальной асимптоты (сделать рисунок).
Пример 2. .
у y=./2
0 x
|
, следовательно, график функции имеет две асимптоты: для правой ветви , для левой ветви . |