Вопрос 4. Общий план исследования функций и построения графиков.
Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика разлагается на следующие этапы решения задачи:
Область определения функции.
Точки пересечения с осями координат.
Четность, нечетность, периодичность функции.
Исследование функции на экстремум (интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума).
Исследование на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.
Поведение функции на бесконечности. Точки разрыва функции. Асимптоты.
Вспомогательные точки.
Построение графика функции.
Пример 1. Построить график функции .
Решение.
.
Точки пересечения с осями координат: с Ох: , с Оу: .
Функция нечетная, т.к. , следовательно, график функции симметричен относительно начала координат. Функция непериодическая.
Исследование на экстремум: , при .
+ – – + у'
х
–3 0 3 у
, .
Исследование на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба: , вторая производная обращается в нуль в точке .
– + – + у''
х
0 у
Т.П.
Т.П.: .
Точек разрыва:
Вертикальные: , т.к. .
Наклонные: , ,
.
Горизонтальных асимптот нет, т.к. .
Вспомогательные точки: .
8. График функции: