- •Вопрос 1 Графики и свойства основных элементарных функций.
- •Вопрос 2 Предел функции в точке
- •Предел функции в бесконечности
- •Вопрос 3.1 основные теоремы о пределах
- •Вопрос 3.2
- •Вопрос 4 Непрерывность функции
- •Вопрос 5 точки разрыва первого и второго урода-рода гг…
- •Вопрос 6 производная и дифференциал
- •Вопрос 7.1 Теорема Ферма
- •Вопрос 7.2 Теорема Роля
- •Вопрос 7.3 Теорема Лагранжа
- •Вопрос 8 Функция нескольких переменных и их непрерывность
- •Дифференциалы высших порядков
- •Свойства дифференциала
- •Вопрос 11 Экстремум функции
- •Необходимое и достаточное условие экстремума
- •Вопрос 12 поиск экстремума функций двух переменных
- •Вопрос 13 Неопределенный интеграл, основные теоремы
- •Свойства неопределенного интеграла:
- •Вопрос 14 Определенный интеграл, основные теоремы
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16 Прямая линия на плоскости, условия перпендикулярности и параллельности двух прямых
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Вопрос 19 Парабола: определение и вывод канонического уравнения
- •Вывод уравнения параболы
- •Вопрос 20 Прямая и плоскость в пространстве
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Вопрос 22 Матрицы и их классификация
- •Вопрос 23 Операции над матрицами
- •Вопрос 24 Определители и их свойства
- •Свойства определителей
- •Теорема (частный случай теоремы Лапласа)
- •Вопрос 25 Определение обратной матрицы
- •Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •Вопрос 26 н-мерное линейное векторное пространство
- •Вопрос 27 Системы векторов, операции над ними
- •Вопрос 28 Ранг матрицы и теорема о ранге матрицы
- •Вопрос 29 линейные операторы и матрицы
- •Вопрос 31 Решение системы линейных уравнений с помощью определителей, метод Крамера
- •Вопрос 32 Решение системы линейных уравнений в матричной форме
- •Вопрос 33 Метод Гаусса
- •Вопрос 34, 35 Сущность и условия применения теории вероятности.
- •Вопрос 35 Основные понятия
- •Вопрос 36 Вероятностное пространство
- •Вопрос 37 Элементы комбинаторики. Соединения
- •Вопрос 39 Теорема сложения вероятностей
- •Вопрос 40 Теорема умножения вероятностей.
- •Вопрос 41 Формула полной вероятности
- •Вопрос 42 Теорема Байеса
- •Вопрос 43 Формула Бернулли
- •Вопрос 44 Случайные величины, способ их описания
- •Вопрос 45 Основные числовые характеристики непрерывной случайной дискретной величины.
- •Вопрос 46 Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Вопрос 47 Биноминальный закон распределения вероятностей случайных величин
- •Вопрос 48 числовые характеристики систем двух случайных величин
- •Зависимость между случайными величинами
Свойства дифференциала
1.dС = 0. 4. d(uv) = vdu + udv.
2. d(С u) = C du. 5. d(u/v) = (vdu – u dv)/ v2.
3.d(u + v) = du +dv
Вопрос 11 Экстремум функции
Точка х0 называется точкой минимума функции ¦( х), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство ¦( х) ³ ¦( х0).
Точка х1 называется точкой максимума функции ¦( х), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство ¦( х) £ ¦( х1).
Значение функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.
Необходимое и достаточное условие экстремума
Теорема (необходимое условие экстремума) Для того чтобы функция у = ¦( х) имела экстремум в точке х0, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (¦¢( х0) = 0) или не существовала.
Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются стационарными. Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в область определения функции.
Теорема (достаточное условие существования экстремума). Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 есть точка максимума функции у =¦( х), а если с минуса на плюс, то - точка минимума.
Схема исследования функции на экстремум
Найти производную у¢ = ¦¢( х).
Найти стационарные точки функции, в которых производная ¦¢( х) = 0 или не существует.
Исследовать знак производной слева и справа от каждой стационарной точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.
Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.
Вопрос 12 поиск экстремума функций двух переменных
Как и в случае одной переменной, функция z = f (x,у) имеет узловые, определяющие структуру графика, точки.
Точка М0 (х0, у0) называется точкой максимума (минимума) функции z = f (x,у), если существует окрестность точки М такая, что для всех точек (х, у) из этой окрестности выполняется неравенство:
Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть точка М0 (х0, у0) – есть точка экстремума дифференцируемой функции z = f (x,у). Тогда частные производные и в этой точке равны нулю. Если частные производные и сами являются дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка.
Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция z = f (x,у):
1) определена в некоторой окрестности стационарной точки (х0,у0), в которой
2) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка (х0, у0) =А, (х0, у0) =(х0, у0) = В и (х0, у0) =С.
Тогда, если Δ=АС-В2>0, то в точке(х0, у0) функция имеет экстремум, причем, если А<0 – максимум, если А>0 – минимум.
В случае Δ= АС-В2 <0, функция экстремума не имеет.
Если Δ =АС-В2 =0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Схема исследование функции двух переменных на экстремум:
1) Найти частные производные
2) Решить систему уравнений, и найти стационарные точки функции.
3) Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой стационарной точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.