Вопрос 27 Системы векторов, операции над ними

Линейные операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1. Х + У = У + Х; (коммутативное свойство суммы)

2. (Х + У) + Z = X + (Y + Z); (ассоциативное свойство суммы)

3. a(bX) = (ab)X;

4. a(X + Y) = aX + aY; (дистрибутивное свойство)

5. (a + b)X = aX + bX;

6. Существует нулевой вектор О=(0,0,…0) такой, что Х + О = Х, для любого Х;

7. Для любого вектора Х существует противоположный вектор (-Х) такой, что Х + (-Х) = О;

8. 1∙Х = Х для любого Х.

Вопрос 28 Ранг матрицы и теорема о ранге матрицы

В матрице размера m x n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно выделить квадратные подматрицы k-го порядка, где k≤min(m; n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы А обозначается rang A или r(A).

Из определения следует:

1) ранг матрицы размера m x n не превосходит меньшего из её размеров, т.е. r(A) ≤ min (m; n).

2) r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А=0.

3) Для квадратной матрицы n-го порядка r(A) = n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.5) Транспонирование матрицы.

Теорема Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

Вопрос 29 линейные операторы и матрицы

Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор y пространства то говорят: что задан оператор (преобразование, отображение) A(x), действующий из в и записывают y=A(x).

Оператор называется линейным, если для любого вектора x и y пространства и любого числа λ выполняются следующие соотношения:

Вопрос 31 Решение системы линейных уравнений с помощью определителей, метод Крамера

Каждой квадратной матрице А, можно поставить в соответствие вычисленное по определенным правилам число, называемое определителем квадратной матрицы.

Определителем матрицы первого порядка А=(а₁₁) или определителем первого порядка называется элемент а₁₁. Обозначается Δ₁ = а₁₁ или│А│= а₁₁.

Определителем матрицы второго порядка или определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле: Δ₂ = │А│= а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁ .

Определителем матрицы третьего порядка или определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле: Δ₃ = │А│= а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₁+а₂₁а₃₂а₁₃– а₃₁а₂₂а₁₃ – а₁₂а₂₁а₃₃ – а₃₂а₂₃а₁₁.

Пусть А является квадратной матрицей n-го порядка.

Минором М_ij элемента а_ij, называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i –ой строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком

(-1)^i+j *

Теорема Крамера. Пусть Δ – определитель матрицы системы А, а Δ_j – определитель матрицы, полученный из матрицы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда если Δ не равен нулю, то система имеет единственное решение, определённое по формулам Крамера:

где j=1..n.