- •Вопрос 1 Графики и свойства основных элементарных функций.
- •Вопрос 2 Предел функции в точке
- •Предел функции в бесконечности
- •Вопрос 3.1 основные теоремы о пределах
- •Вопрос 3.2
- •Вопрос 4 Непрерывность функции
- •Вопрос 5 точки разрыва первого и второго урода-рода гг…
- •Вопрос 6 производная и дифференциал
- •Вопрос 7.1 Теорема Ферма
- •Вопрос 7.2 Теорема Роля
- •Вопрос 7.3 Теорема Лагранжа
- •Вопрос 8 Функция нескольких переменных и их непрерывность
- •Дифференциалы высших порядков
- •Свойства дифференциала
- •Вопрос 11 Экстремум функции
- •Необходимое и достаточное условие экстремума
- •Вопрос 12 поиск экстремума функций двух переменных
- •Вопрос 13 Неопределенный интеграл, основные теоремы
- •Свойства неопределенного интеграла:
- •Вопрос 14 Определенный интеграл, основные теоремы
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16 Прямая линия на плоскости, условия перпендикулярности и параллельности двух прямых
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Вопрос 19 Парабола: определение и вывод канонического уравнения
- •Вывод уравнения параболы
- •Вопрос 20 Прямая и плоскость в пространстве
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Вопрос 22 Матрицы и их классификация
- •Вопрос 23 Операции над матрицами
- •Вопрос 24 Определители и их свойства
- •Свойства определителей
- •Теорема (частный случай теоремы Лапласа)
- •Вопрос 25 Определение обратной матрицы
- •Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •Вопрос 26 н-мерное линейное векторное пространство
- •Вопрос 27 Системы векторов, операции над ними
- •Вопрос 28 Ранг матрицы и теорема о ранге матрицы
- •Вопрос 29 линейные операторы и матрицы
- •Вопрос 31 Решение системы линейных уравнений с помощью определителей, метод Крамера
- •Вопрос 32 Решение системы линейных уравнений в матричной форме
- •Вопрос 33 Метод Гаусса
- •Вопрос 34, 35 Сущность и условия применения теории вероятности.
- •Вопрос 35 Основные понятия
- •Вопрос 36 Вероятностное пространство
- •Вопрос 37 Элементы комбинаторики. Соединения
- •Вопрос 39 Теорема сложения вероятностей
- •Вопрос 40 Теорема умножения вероятностей.
- •Вопрос 41 Формула полной вероятности
- •Вопрос 42 Теорема Байеса
- •Вопрос 43 Формула Бернулли
- •Вопрос 44 Случайные величины, способ их описания
- •Вопрос 45 Основные числовые характеристики непрерывной случайной дискретной величины.
- •Вопрос 46 Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Вопрос 47 Биноминальный закон распределения вероятностей случайных величин
- •Вопрос 48 числовые характеристики систем двух случайных величин
- •Зависимость между случайными величинами
Вопрос 6 производная и дифференциал
Пусть функция у = ¦(х) определена на промежутке Х. Возьмем точку хÎХ. Дадим значению х приращение Dх¹0, тогда функция получит приращение Dу = ¦( х+Dх ) -¦( х ).
Производной функции у = ¦(х) называется предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх при стремлении Dх к нулю.
Если функция в точке х0 имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Производная функции у = ¦(х) в точке х0 является значением функции ¦¢( х) в точке х0.
Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.
Правила дифференцирования
Производная постоянной равна нулю, т.е. С¢=0.
Производная аргумента равна 1, т.е. х¢=1
Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е. (u + v)¢ = u¢ + v¢.
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле: (u v)¢ = u¢ v + u v¢.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (Сu)¢ = Cu¢.
Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:
Теорема. Если у = f(u) и u = j (x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е у¢ = ¦¢(u)u¢.
Производной n-го порядка называется производная от производной (n –1)-го порядка.
Обозначение производных: ¦¢¢( х) - второго порядка, ¦¢¢¢( х) – третьего порядка. Производные более высокого порядка обозначаются следующим образом: ¦ (n) ( х) – производная n-го порядка.
Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.
Итак, если имеется неопределенность вида [0/0] [¥/¥], то:
Вопрос 7.1 Теорема Ферма
Если дифференцируемая на промежутке функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f′(x0)=0.
Вопрос 7.2 Теорема Роля
Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:
непрерывна на [a,b];
дифференцируема на [a,b];
на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)= f(b).
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ε ( a,b), в которой производная равна нулю (f′(ε)=0).
Вопрос 7.3 Теорема Лагранжа
Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:
непрерывна на [a,b];
дифференцируема на [a,b].
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка С( a,b), в которой производная равна частному от деления приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке, т.е.