- •Мультимедийные лекции
- •Содержание
- •Множества Элементы теории множеств. Операции над множествами.
- •Операции над множествами.
- •Функция Понятие функции. Основные свойства функции.
- •Основные элементарные функции и их графики.
- •Предел последовательности Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
- •Предел функции Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Основные теоремы о пределах функций.
- •Техника вычесления пределов Замечательные приделы.
- •Первый замечательный придел.
- •Техника дифференцирования:
- •Примеры применения производной в экономике.
- •Приложения производной к исследованию функций и построению графиков. Исследование функции на монотонность (возрастание и убывание функции)
- •Экстремум функции (исследование функции на экстремум функции)
- •Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •Исследование функции на выпуклость и точку перегиба.
- •Асимптоты графика функции. Исследование функции на асимптоты.
- •Общая схема исследования функций и построения графиков.
- •Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Свойства неопределенного интеграла и его геометрические свойства.
- •Основные приемы интегрирования
- •Интегрирование тригонометрических функций.
- •Интегрирование некоторых видов иррациональных функций.
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •Числовые ряды. Сумма ряда.
- •Эталонные ряды.
- •Признаки сходимости знакоположительных рядов
- •Достаточные признаки
- •Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременого ряда.
- •Степенные ряды. Область сходимости. Теорема н. Абеля.
- •Свойства степенных рядов
- •Ряд Маклорена. Ряд Тейлора.
Степенные ряды. Область сходимости. Теорема н. Абеля.
Перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности, степенные функции.
Определение 1. Степенным рядом называется ряд вида:
где aи коэффициенты а0,… ,аn – постоянный.
При а=0 степенной ряд примет вид:
Определение 2.Совокупность значений x, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимостью степенного ряда.
Пример. Найти область сходимости.
1+x+ x2 + … + xn +…
Это геометрический рядq = x. Он сходится при то есть приилиследовательно, область сходимости (−1; 1).
Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Н. Абеля:
1. Если степенной ряд (2) сходится приx = x0≠ 0, то он абсолютно сходится и при всех значениях x, удовлетворяет неравенству .
2. Если степенной ряд (2) расходится приx = x1≠ 0, то он расходится и при всех значениях x, удовлетворяет неравенству .
Из теоремы Н. Абеля следует, что существует такое число R ≥ 0, что при всех ряд (2) сходится, а прирасходится.
Число Rназывается радиусом сходимости степенного ряда, а интервал (−R; R) называется интервалом сходимости.
На концах интервала сходимости ряд (2) может, как сходится, так и расходится.
Для ряда (1) получим:
, то есть .Следовательно, интервал сходимости ряда (1) имеет вид:.
Радиус сходимости степенного ряда находится по формуле:
Пример 1.
Решение:
Тогда
Следовательно, (−2; 2) – интервал сходимости.
При ряд расходится, так как
То есть
Следовательно,при ряд расходится.
Пример 2.
Решение:
Тогда (−1;1) – интервал сходимости.
При x=1ряд расходится, как обобщенный гармонический.
При x=−1 получим знакочередующийся ряд.
На основании признака Лейбница он сходится, т.к.
Следовательно, область сходимости −1≤x˂1
Свойства степенных рядов
Пусть степенной ряд
имеет интервал сходимости.
Тогдаряд, полученный из данного ряда почленным дифференцированием или интегрированием, имеет тот же интервал сходимости.
Следовательно, на интервале сходимости степенные ряды можно почленно дифференцировать и интегрировать.
Ряд Маклорена. Ряд Тейлора.
Если функцияразлагается в степенной ряд по степеням, то ряд имеет следующий вид:
Этот ряд называется рядом Тейлора.
В частном случае при a=0 ряд примет вид:
Этот ряд называется рядом Маклорена.
Разложение в степенные ряды элементарных функций