1. Модуль числа

Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число: |а| = а

Модулем отрицательного действительного числа a называют противоположное число: |а| = - а.

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули: |-а| = |а|

Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков: |0| = 0

На практике используют различные свойства модулей:

|а| ≥ 0

|а·b| = |а| · |b|

|а|ⁿ = аⁿ , n є Z, a ≠ 0, n > 0

|а| = | - а|

|а + b|  ≤  |а| + |b|

|а·q| = q·|а| , где q - положительное число

|а|² = а²

2. ЧП

Если каждому натуральному числу н поставлено в соответствие число хн, то говорят, что задана последовательность х1, х2,...,хн={хн}

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1) умножение последовательности на число м: м{хн}={мхн}, то есть мх1, мх2,...,мхн

2) сложение (вычитание) последовательностей: {хн}+/-{ун}={хн+/-ун}

3) произведение последовательностей: {хн}*{ун}={хн*ун}

4) частное последовательностей: {хн}/{ун}, при ун=0

Последовательность {хн} называется ограниченной, если существует такое число М>0 (М - конечное число), что для любого н верно неравенство: |хн|<М, то есть все члены последовательности принадлежат промежутку (-М;М). 

Последовательность {хн} называется ограниченной сверху, если для любого н существует такое число М, что хн<=М. 

Последовательность {хн} называется ограниченной снизу, если для любого н существует такое число М, что хн>=М. 

3. Предел чп. Теоремы о пределах.

Число а называется пределом последовательности {хн}, если для любого положительного числа епсилон>0 существует такой номер N, что для всех номеров н>N выполняется условие: |хн - а|<епсилон. 

Это записывается: lim хн=а или хн->а. 

Говорят, что {хн} сходится к числу а при н-> бесконечность

Свойство: если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая. 

Последовательность без придела - расходящаяся. 

Теорема:

Последовательность не может иметь более одного предела. 

Доказательство: 

предположим, что последовательность {хн} имеет два предела а и б, не равные друг другу, то есть хн->а; хн->б; а!=б. 

Тогда по определению существует такое число епсилон>0, что:

|а-хн|< епсилон/2; |б-хн|<епсилон/2; х принадлежит (а-епсилон/2, а+епсилон/2), (б-епсилон/2,б+епсилон/2). 

Выполним оценку:

|а-б|=|(а-хн)+(хн-б)|<=|а-хн|+|хн-б|<епсилон/2+епсилон/2=епсилон. 

Так как епсилон - любое число, то |а-б|=0, то есть а=б. 

|а-б|<епсилон. 

Теорема. Если хн->а, то последовательность {хн} ограничена. А - конечное число. 

Обратное утверждение не верно, то есть из ограниченной последовательности не следует ее сходимость. 

Монотонные последовательности:

1) если хн+1>хн для всех н, то последовательность возрастающая;

2) если хн+1>=хн для всех н, то последовательность неубывающая. 

3) если хн+1<хн для всех н, то последовательность убывающая;

4) если хн+1<=хн для всех н, то последовательность невозрастающая. 

Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными. 

Пример: {хн}=1/н - убывающая и ограниченная, н-> бесконечность, 1/н ->0. {хн}=н - возрастающая и неограниченная. 

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.