1. Понятие ду 1-го порядка, его решения, общего решения, частного решения.

ДУ называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и ее производные. 

В общем виде дифференциальное уравнение записывается следующим образом: F(x, y, y', y",..., y''n)=0 (1). В уравнение 1: х - независимая переменная, принадлежащая некоторой оси от а до б, у(х) - неизвестная функция, подлежащая определению, у' - первая, вторая и т.д. производные функции у до порядка н. 

Порядком ДУ называется порядок старшей производной, входящей в уравнение. 

Запишем общий вид дифференциального уравнения первого порядка: F(x,y,y')=0 (2);

Уравнение вида y'=f(x,y) (3) - называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. 

Чтобы от вида (2) перейти к виду (3) надо найти y' из уравнения (2). 

Пример: у' - соs x = 0, y'=cos x. 

Решением ДУ (1) называется любая функция у(х), при подстановке которой в уравнение последнее превращается в очевидное тождество. 

Пример: y'=cos x, проверить, является ли y=sin x решением:

(sin x)'=cos x, cos x=cos x. 

2. Ду с разделяющимися переменными и его решения.

19Стр в лекции

3. Задача Коши для ду 1-го порядка.

Теорема Коши: Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной: у'=f(x,y) - если функция f(x,y) и частная производная fy'(x,y) являются непрерывными в некоторой области D, то в окрестности точки М0(х0,y0), являющейся внутренней точкой области D, существует единственное решение у(х) заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющее условиям: у(х0)=y0. 

Сформулируем задачу Коши для д.у. (I): {у'=f(x,y); y(x0)=y0 - начальные условия. 

4. Однородное ду 1-го порядка и его решение.

Дифференциальное уравнение вида у'=f(x,y) называется однородным, если его правая часть f(x,y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов. Любое уравнение вида Р(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 является однородным, если функции P(x,y) и Q(x,y) - однородные функции одинакового измерения. 

Замена: y=ux, y'=u'x + u. 

6. Ду Бернулли и его решение.

Уравнение вида y'+p(x)y=q(x), где p(x), q(x) (10) - заданные непрерывные функции называется линейным д. у. Первого порядка. 

Линейное уравнение (10) можно решить методом Бернулли следующим образом:

1. Сделаем замену переменной в виде: у=u(x)*v(x) - то есть искомую функцию у заменим двумя неизвестными функциями u(x) и v(x). 

2. Вычислим y'=u'v+uv'. 

И подставим y и y' в уравнение (10). 

u'v+uv' +p(x)uv=q(x)

3. Введем дополнительное уравнение:

u'+p(x)u=0. (11)

Тогда:

uv'=q(x). (11)

В итоге получили систему двух уравнений (11). 

Первое уравнение является разделяющимися переменными. 

7. Ду высших порядков. Основные определения Теорема Коши.

Дифференциальным уравнением порядка н называется уравнение вида: F(x,y,y'...y'(n))=0. 

Решение у=fi(x) удовлетворяет начальным условиям x0, y0, y'=0,...,y'(n-1)0, если fi(x0)=y0, fi'(x0)=y0,...,fi'(n-1)0(x0)=y'(n-1)0

Нахождение решения уравнения F(x,y,y'...y'(n))=0, удовлетворяющего начальным условиям x0, y0, y'=0,...,y'(n-1)0, называется решением задачи Коши. 

Теорема Коши: Если функция (н-1)-й переменной вида F(x,y,y'...y'(n))=0 в некоторой области D (n-1)-пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по у'...у'(н-1), то какова бы не была точка (x0, y0, y'=0,...,y'(n-1)0) в этой области, существует единственное решение у=fi(x) уравнения у(х)=F(x,y,y'...y'(n)), определенного в некотором интервале, содержащее точку х0, удовлетворяющую начальным условиям x0, y0, y'=0,...,y'(n-1)0.