МатАнализ

Решения типовых задач контрольных работ.

При x 0 числитель и знаменатель дроби являются бесконечно малыми функциями,

такое отношение условно обозначается символом [ 0 ], представляет собой

0

Для раскрытия такого вида неопределенности [0]сделаем следующие преобразования: 0

При вычислении заданного предела мы воспользуемся следующим результатом,

sin

называемым «первым замечательным пределом»: lim 1.

0

При этом под подразумевается любая бесконечно малая функция.

Решение:

И в первом и во втором случае мы имеем дело с неопределенностью вида[1 ] , так как

1

x

Для раскрытия такого вида неопределенностей можно воспользоваться следующей

Вычислим первый предел, пользуясь этой формулой:

Для вычисления второго предела воспользуемся непосредственно результатом, называемым « вторым замечательным пределом»:

Где е – некоторое число, равное пределу числовой последовательности

Для вычисления заданного предела сделаем следующие преобразования:

x

Выражение, выделенное в квадратные скобки при x имеет пределом е, а показатель

В данном случае второй сомножитель представляет собой неопределенность, обозначаемую символом , поэтому и произведение является неопределенностью. Для её раскрытия проведем такие преобразования:

2

Исследовать её непрерывность и схематически построить график. Функция f(x)

называется непрерывной в точке x0 , если lim f (x) f (x0 ) . Любая элементарная функция

x x0

непрерывна в своей области определения. Заданная нам функция у непрерывна в

y(0) cos 0 1

Так как три полученных результата совпадают, условие непрерывности выполняется и у непрерывна в точке x1 0 .

Несовпадение полученных результатов уже говорит о невыполнении условий

На рис. 8 схематически показан график функции у.

Рис 8.

Задание 8. Найти производную функции: y cos(x2 ) .

Решение:

При вычислении производных пользуются таблицей производных основных элементарных функции и теоремой дифференцирования сложной функции:

3

Пусть y=f(u) дифференцируема в точке u0 u=f(x) дифференцируема в точке x0 , причем

Решение:

Правило вычисления производной функции, заданной неявно, заключается в том, что дифференцируют левую и правую часть равенства в предположении, что у есть функция от х:

(x4 y 2 x y7 )' (0)'

Задание 11. Провести полное исследование функции и построить её график: f(x) = x + ln( x2 -1)

Решение:

Исследование функции будем проводить по следующей схеме:

1)найдем область определения функции и точки пересечения её графика с осями координат.

2)Выясним четность(или нечетность) функции(если она задана на семметричном промежутке)

3)Выясним периодичность функции.

4)Исследуем функцию на непрерывность, найдем точки разрыва и выясним характер разрывов.

5)Найдем асимптоты графика функции.

6)Исследуем функцию на экстремум, найдем интервалы монотонности функции.

7)Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.

4

2)Функция не является ни четной, ни нечетной

3)Функция не является периодической

4)На интервале ( ; 1)и(1; ) функция непрерывна. 5) Вертикальные асимптоты:

Следовательно, ни наклонных, ни горизонтальных асимптот нет.

6)Находим производную данной функции: f '(x) 1 2x . Производная существует и

x2

конечна во всех точках области определения функции. Следовательно, стационарные точки могут быть лишь в «нулях » производной:

Вточке x2 1 2 функция не определена. Следовательно, имеется только одна критическая точка x1 1 2 , принадлежащая области определения функции.

Винтервале ( ; 1 2 ) производная f’(x)>0, а в интервале ( 1 2; 1)f’(x)<0.

Следовательно, точка х= 1 2; точка максимума и

7) Находим вторую производную функции f’’(x) x2 1 2

Значение f’’(x)<0 на всей области определения функции. Следовательно, кривая везде выпукла и точек перегиба не имеет. Построим график функции.

Рис 9

5

Далее представляем интеграл алгебраической суммы в виде суммы интегралов слагаемых, вынося постоянные множители за знаки интегралов, и, пользуясь таблицей интегралов, получим:

Решение:

Первый способ. Пологая 1 + 2 cosx = t, -2 sinx dx = dt, получим

Умножая и деля на -2 и замечая, что -2 sinx dx = d(1+2cosx), получим